Super Matematika

Salah satu aplikasi integral tak tentu adalah untuk menghitung luas. Untuk menghitung luas ini kita harus memahami apakah daerah yang dimaksud berada di atas kurva, di bawah kurva, di atas sumbu x ataupun di bawah sumbu x. Untuk itulah maka kita perlu memahami gambar kurva.

Untuk lebih jelasnya perhatikan kasus-kasus berikut

Jika kurva berada di bawah sumbu x maka metodanya adalah

Jika di antara dua kurva maka caranya sebagai berikut

 

Contoh soal 1

Tentukan luas daerah yang diarsir !

 

Jawab :

 

 

Contoh soal 2 :

Carilah luas daerah yang diarsir !

Jawab :

L = -3³ + 6.3² — 9.3 — (-1³ + 6.1² — 9.1)

L = -27 + 54 — 27 — (-1+ 6 — 9) = 0 — (-4) = 4

 

Contoh Soal 3 :

Luas daerah yang diarsir adalah …

Jawab :

 

Contoh Soal 4 :

Tentukan luas daerah yang diarsir berikut

Jawab :

misalkan persamaan garis kita tulis menjadi f(x) = 2x — 17 dan parabola menjadi g(x) = x² — 25. Pada bagian yang diarsir, kurva f(x) lebih di atas dibandingkan dengan kurva g(x)

Maka luas daerah di atas bisa dinyatakan dengan

 

 

Contoh Soal 5 :

Hitunglah luas daerah yang diarsir

Jawab :

Daerah tersebut sebagian di atas sumbu x dan sebagian di bawah sumbu x. Untuk menghitung luasnya, masing-masing harus dihitung sendiri

Untuk bagian yang di bawah sumbu x, kita bisa menghitungnya sebagai berikut

L₁= – 3.0² + 0³ — (–3(–1)² + (–1)³) = 0 — (–3 –1) = 4

Untuk bagian yang di atas sumbu x, kita bisa menghitungnya sebagai berikut

L₂ = 3.2² — 2³ — (3.0² — 0³) = 12 — 8 — 0 = 4

 

L = L₁ + L₂ = 4 + 4 = 8

 

Contoh Soal 6 :

Luas daerah yang dibatasi oleh y = 2x² — 8x + 6 , y = 2x — 2, x = — 1 dan x = 4 adalah …

Jawab :

Jika dilihat dari parabola y = 2x² — 8x + 6, daerah yang diarsir ada yang di bawah parabola dan dan di atas parabola. Untuk itu, kita harus menghitung 2 kali, pertama yang di bawah parabola, dan kedua yang dibawah parabola

Parabola : y_p = 2x² — 8x + 6

Garisy_g = 2x — 2

Untuk daerah 1, yang di atas adalah parabola, sedangkan di bawah yang di atas garis dan yang di bawah parabola, sehingga :

Integral tak tentu selalu menghasilkan konstanta yang besarnya tidak tentu. Supaya konstanta ini tentu maka kita harus tahu nilai fungsi pada salah satu domain. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut :

 

Contoh Soal 1 :

f ‘(x) = 8x — 5
f(2) = 9
maka f(x) = ….

 

Jawab :

f(2) = 9

4.2² — 5.2 + c = 9

16 — 10 + c = 9

c = 3

Jadi,

f(x) = 4x² — 5x + 3

 

Contoh Soal 2 :

f ”(x) = 6x + 8

f ‘(3) = 7 f(0) = 5

f(x) = …

Jawab :

f'(3) = 7

3.3² + 8.3 + k = 7

27 + 24 + k = 7

51+ k = 7

k = – 44

Jadi

f ‘(x) = 3x² + 8x – 44

maka

f(0) = 5

0³ + 4.0² — 44.0 + c = 5

c = 5

Dengan demikian

 

Contoh soal 3 :

Gradien garis singgung pada kurva y = f(x) di setiap titik (x, y) dinyatakan dengan 8x – 7. Jika kurva melalui (2, 5) maka koordinat titik potong kurva dengan sumbu y adalah …

Jawab :

gradien garis singgung merupakan turunan pertama dari kurva

f ‘(x) = 8x – 7

Karena melalui (2, 5) maka

f(2) = 5

4.2² – 7.4 + c = 5

16 – 28 + c = 5

c = 17

maka

f(x) = 4x² – 7x + 17

Koordinat titik potong dengan sumbu y terjadi saat x = 0

y = f(0) = 0 – 0 + 17 = 17

Jadi, koordinat titik potong dengan sumbu y adalah (0, 17)

 

Contoh soal 4 :

Gradien garis singgung kurva y = f(x) dinyatakan dengan dy/dx = 12 – 4x . Jika nilai maksimum kurva adalah 32 maka koordinat titik potong kurva terhadap sumbu x adalah …

Jawab :

Syarat maksimum :

y = 0

12 – 4x = 0

12 = 4x

x = 3

karena nilai maksimum adalah 28 maka f(3) = 32

f'(x) = 12 – 4x

karena f(3) = 32

12.3 – 2.3² + c = 32

36 – 18 + c = 32

c = 14

f(x) = 12x – 2x² + 14

atau

y = 12x – 2x² + 14

titik potong dengan sumbu x

y = 0

12x – 2x² + 14 =0

x² – 6x – 7 = 0

(x – 7)(x + 1) = 0

x = 7 atau x = –1

Jadi, koordinat titik potong sumbu x adalah (–1, 0) dan (7, 0)

 

Contoh Soal 5 :

Turunan kedua dari fungsi y = f(x) dinyatakan dengan 6x – 16. Gradien garis singgung kurva di titik P (2, 7) adalah 5. Maka f(x) = …

Jawab :

Gradien garis singgung kurva di titik P (2, 7) adalah 5, artinya f ‘(2) = 5

Ini berarti kurva melalui (2, 7) sehingga f(2) = 7

f”(x) =6x – 16

karena f ‘(2) = 5 maka

3.2² – 16.2 + k = 5

12 – 32 + k = 5

k = 25

Maka f ‘(x) = 3x² – 16x + 25

karena f(2) = 7 maka

2³ – 8.2² + 25.2 + c = 7

8 – 32 + 50 + c = 7

26 + c = 7

c = – 19

Jadi