Teorema Vieta

Teorema vieta menyatakan rumus-rumus jumlah dan hasil kali akar-akar pada persamaan polinom. Dengan menggunakan jumlah dan hasil kali ini kita bisa mendapatkan berbagai perhitungan akar-akar walaupun kita tidak mengetahui nilai akar-akarnya. Bentuk-bentuk yang dicari tersebut bisa simetris, bisa juga tidak simetris

Contoh bentuk simetris

α3 + β3 + γ3

Contoh bentuk tidak simetris

α3 + β5 + γ6

α3 + 2β

 

 

Bentuk-bentuk Teorema Vieta tersebut adalah

Persamaan kuadrat

ax2 + bx + c = 0

x1 + x2 = -b/a

x1x2 = c/a

 

Persamaan Kubik

ax3 + bx2 + cx + d = 0

x1 + x2 + x3= -b/a

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a

x1x2x3 = -d/a

 

Persamaan Kuartik

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

x1 + x2 + x3 + x4 =-b/a

x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = c/a

x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 +x2x3x4 = -d/a

x1x2x3x4 = e/a

 

Persamaan Kuintik

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =-b/a

x1x2 + x1x3 + x1x4 + x1x5 + x2x3 + x2x4 + x2x5 + x3x4 + x3x5 + x4x5 = c/a

x1x2x3 +x1x2x4 +x1x2x5 +x1x3x4 +x1x3x5 +x1x4x5 +x2x3x4 +x2x3x5 +x2x4x5 +x3x4x5 =-d/a

x1x2x3x4 +x1x2x3x5 + x1x2x4x5 + x1x3x4x5 + x2x3x4x5 = e/a

x1x2x3x4x5 = -f/a

 

Contoh soal 1

Persamaan kubik x3 — 7x2 + 2x — 5 = 0 memiliki akar-akar α, β, dan γ

Tentukan nilai dari

b. α2 + β2 + γ2

Jawab :

α + β + γ = -b/a = 7

αβ + αγ + βγ = c/a = 2

αβγ = -d/a=5

b. α2 + β2 + γ2 = (α + β + γ)2 – 2(αβ + αγ + βγ) = 72  — 2.2 = 49 — 4 =45

 

Contoh soal 2

Akar-akar persamaan kubik x3  — 9x2 + kx — 15 =0 membentuk barisan aritmetika. Nilai k sama dengan …

Jawab :

Cara I

Misal x1 = α x2 = α+ β x3 = α+2β

x1 + x2 + x3= -b/a = 9

α + α+ β + α + 2β = 9

3α+ 3β = 9

α+ β = 3

α = 3 — β

 

x1x2x3 = -d/a = 15

α(α+ β)(α + 2β) =15

α(3)(α + 2β) =15

α(α + 2β) =5

(3 — β)(3 — β + 2β) =5

(3 — β)(3 + β) =5

9 — β2 = 5

β2 = 4

β = 2

α = 3 — β = 3-2 = 1

x1 = α = 1 x2 = α+ β = 1+2 = 3 x3 = α+2β = 1 + 4 = 5

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = k

1.3 + 1.5 + 3.5 = k

k = 23

 

Cara II

Misal x1 = α x2 = α+ β x3 = α+2β

x1 + x2 + x3= -b/a = 9

α + α+ β + α + 2β = 9

3α+ 3β = 9

α+ β = 3

x2 = 3

Nilai x2 ini kita subtitusikan ke persamaan semula

x3  — 9x2 + kx — 15 =0

27 — 81 + 3k — 15 = 0

3k = 69

k=23

Contoh soal 3

Persamaan kuadrat 2x2 – 8x — 6 = 0 memiliki akar-akar α dan β

Nilai dari (α2  — 3α — 5)(β2  — 5β — 1) dan β sama dengan

 

Jawab

α + β = -b/a = 8/2 = 4

αβ = c/a = -6/2 = -3

2x2 – 8x — 6 = 0

2x2 = 8x + 6

x2 = 4x + 3

Nilai x bisa diganti dengan α dan β sehingga

α2 = 4α + 3

β2 = 4β + 3

sehingga

2  — 3α — 5)(β2  — 5β — 1)

=(4α + 3  — 3α — 5)(4β + 3  — 5α — 1)

=(α — 2)(-β + 2)

=-αβ + 2α + 2β — 4

= αβ + 2(α + β) — 4

= -3 + 8 — 4 = 1

 

Contoh soal 4

Persamaan x3 + 6x2 + 4x — 5 =0 mempunyai akar-akar α, β, dan γ. tentukan nilai dari α3 + β3 + γ3

Jawab :

α + β + γ = -b/a = -6

αβ + αγ + βγ = c/a = 4

αβγ = -d/a = 5

Cara I

α2 + β2 + γ2 = (α + β + γ)2 – 2(αβ + αγ + βγ) = (-6)2  — 2.4 = 36 — 8 =28

Persamaan semula bisa ditulis sebagai berikut

x3 = -6x2  — 4x + 5

Jika kita mengganti nilai x dengan α, β, dan γ maka

α3 = -6α2  — 4α + 5

β3 = -6β2  — 4β + 5

γ3 = -6γ2  — 4γ + 5

Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka diperoleh

α3 + β3 + γ3 = — 6(α2 + β2 + γ2 ) -4(α + β + γ) + 15

= -6.28 — 4.(-6) + 15 = -168 + 24 + 15 = -129

Cara II

α3 + β3 + γ3 = (α+ β+ γ)3  — 3(α+β+γ)(αβ + αγ + βγ) + 3αβγ

= (-6)3 – 3(-6).4 + 3.5 = -216 +72 + 15 = -129

 

Contoh soal 5

Akar-akar persamaan x3  — 13x2 + mx — 27 = 0 membentuk deret geometri. Nilai m sama dengan ….

Jawab :

misal x1 = α x2 = αr x3 = αr2

x1x2x3 = -d/a = 27

a.ar.αr2 = 27

a3 .r3 = 27

(ar)3 = 27

ar = 3

x2 = 3

Nilai x2 ini bisa disubtitusikan ke persamaan semula

x3  — 13x2 + mx — 27 = 0

33  — 13.32 + m.3 — 27 = 0

27 — 117 + 3m — 27 = 0

3m = 117

m = 39

 

Contoh soal 6

Agar persamaan x3 — x2 — 8x + n = 0 memiliki akar kembar. Nilai n yang bulat sama dengan …

Jawab :

karena kembar kita bisa memisalkan sebagai berikut

x1 = α x2 =β x3 = γ

x1 + x2 + x3 = -b/a = 1

α + α + β = 1

β = 1 — 2α

 

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a =8

α.α + αβ + αβ = 8

α2 + 2αβ = 8

α2 + 2α(1 — 2α) = 8

α2 + 2α — 4α2 = 8

-3α2 + 2α — 8 = 0

2 — 2α + 8 = 0

(α -2) (3α +4) = 0

α = 2

Nilai α ini bisa menggantikan x pada persamaan semula

x3 — x2 — 8x + n = 0

8 — 4 — 16 + n = 0

n = 12

 

Contoh soal 7

Jika α, β, γ, dan θ merupakan akar-akar persamaan kuartik x4 — 4x3 + 2x2 -5x + 7 = 0, tentukan nilai dari α3 + β3 + γ3 + θ3

Jawab :

α + β + γ + θ= -b/a = 4

αβ +αγ + αθ + βγ + βθ + γθ = c/a = 2

αβγ + αβθ + αγθ + βγθ =-d/a=5

αβγθ = e/a = 7

maka

α2 + β2 + γ2 + θ2 = (α+β+γ+θ)2 – 2(αβ +αγ + αθ + βγ + βθ + γθ)

= 42 — 2.2 = 16 — 4 = 12

Persamaan kuartik bisa kita tulis sebagai berikut :

x4 = 4x3 — 2x2 + 5x — 7

Jika semua ruas dibagi dengan x maka diperoleh

x3 = 4x2 — 2x + 5 — 7/x

Jika nilai x kita ganti dengan α, β, γ, dan θ maka diperoleh

α3 = 4α2 — 2α + 5 — 7/α

β3 = 4β2 — 2β + 5 — 7/β

γ3 = 4γ2 — 2γ + 5 — 7/γ

θ3 = 4θ2 — 2θ + 5 — 7/θ

Jika keempat persamaan ini kita jumlahkan maka diperoleh

α3 + β3 + γ3 + θ3 = 4(α2222) — 2(α+β+γ+θ) + 20 -7(1/α+1/β+1/γ+1/θ)

= 4.12 — 2.4 — 7(5/7) = 48 — 8 — 5 = 35