Kita tahu bahwa
a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2)
a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2)
Untuk membuktikan kedua bentuk, cara paling mudahnya adalah dari ruas kanan kita bawa ke ruas kiri. Kita kalikan pemfaktoran yang di kanan
(a + b)(a2 — ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b — ab2 + b3
= a3 + b3
(a — b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 — a2b — ab2 – b3
= a3 — b3
Tapi apakah para ilmuwan matematika menemukan rumus ini dari kanan ke kiri seperti bukti di atas ? Rasanya tidak begitu. Mereka justru dari kiri ke kanan. Sekarang bagaimana membuktikan dari kiri ke kanan.
Dengan menggunakan segitiga pascal kita bisa menguraikan (a + b)3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2+ b3
(a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3
(a + b)3 — 3ab(a + b) = a3+ b3
Jadi
a3 + b3 = (a + b)3 — 3ab(a + b)
a3 + b3 = (a + b)[(a + b)2 — 3ab]
a3 + b3 = (a + b)[a2 + 2ab + b2 — 3ab]
a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2)
Jadi untuk pemfaktoran a3 + b3 sudah bisa kita lakukan. Bagaimana dengan a3 – b3
Caranya , pada persamaan terakhir, gantilah b dengan –b
a3 + (–b)3 = (a — b)(a2 — a(–b) + (–b)2)
bentuk ini bisa berubah menjadi
a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2)