Pemfaktoran Jumlah Pangkat Tiga

Kita tahu bahwa

a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2)

a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2)

Untuk membuktikan kedua bentuk, cara paling mudahnya adalah dari ruas kanan kita bawa ke ruas kiri. Kita kalikan pemfaktoran yang di kanan

(a + b)(a2 — ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b — ab2 + b3

= a3 + b3

(a — b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 — a2b — ab2 – b3

= a3 — b3

Tapi apakah para ilmuwan matematika menemukan rumus ini dari kanan ke kiri seperti bukti di atas ? Rasanya tidak begitu. Mereka justru dari kiri ke kanan. Sekarang bagaimana membuktikan dari kiri ke kanan.

Dengan menggunakan segitiga pascal kita bisa menguraikan (a + b)3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2+ b3

(a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3

(a + b)3 — 3ab(a + b) = a3+ b3

Jadi

a3 + b3 = (a + b)3 — 3ab(a + b)

a3 + b3 = (a + b)[(a + b)2 — 3ab]

a3 + b3 = (a + b)[a2 + 2ab + b2 — 3ab]

a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2)

Jadi untuk pemfaktoran a3 + b3 sudah bisa kita lakukan. Bagaimana dengan a3 – b3

Caranya , pada persamaan terakhir, gantilah b dengan –b

a3 + (–b)3 = (a — b)(a2 — a(–b) + (–b)2)

bentuk ini bisa berubah menjadi

a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2)