Secara umum, rumus suku ke n pada deret aritmetika adalah
Un = a + (n — 1) b
Rumus di atas bisa kita sebut rumus suku ke n untuk deret aritmetika tingkat 1.
Kita bisa juga membuat Rumus deret aritmetika tingkat 2, tingkat 3, tingkat 4, dan seterusnya
Agar lebih jelas, kita rinci sebagai berikut :
Deret aritmetika tingkat 1 :
atau
Deret aritmetika tingkat 2 :
atau
Deret aritmetika tingkat 3 :
atau
Deret aritmetika tingkat 4 :
atau
Rumus Un (jumlah suku ke n) di atas bisa dijadikan rumus jumlah n suku pertama (Sn), hanya saja beda tingkatannya. Jika suatu deret, Un nya merupakat deret aritmetika tingkat 3 maka Sn nya merupakan tingkat 4
Contoh soal 1 :
Tentukan jumlah 81 suku pertama deret berikut :
1 + 4 + 7 + 10 + …..
Jawab :
Kita bisa memecahkan soal ini dengan menggunakan cara biasa (deret aritmetika tingkat 1). Dengan ketentuan
Cara I :
a = 1 b = 4 — 1 = 3
Cara II:
Deret di atas merupakan deret aritmetika tingkat I, sehingga rumus Sn nya merupakan deret aritmetika tingkat 2
S1 = 1 S2 = 1 + 4 = 5 S3 = 1 + 4 + 7 = 12
S4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22 S5 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35
Selanjutnya, S1, S2, S3, S4, S5 kita susun sebagai berikut
Bilangan pada baris kedua diperoleh dengan menggunakan selisih 2 bilangan yang berdekatan pada baris pertama
Bilangan pada baris ketiga diperoleh dengan menggunakan selisih 2 bilangan yang berdekatan pada baris kedua
Karena pada baris ketiga bilangannya konstan maka kita tidak usah membuat baris keempat
Di setiap baris kita perhatikan bilangan awal saja, yaitu 1, 4, dan 3, ini artinya a = 1 , b = 4 dan c = 3
Sehingga
Jadi :
Contoh Soal 2 :
Jika bilangan ganjil dikelompokkan menjadi
(1), (3, 5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19), (21, 23, 25, 27, 29)……
Maka bilangan terakhir pada kelompok ke 50 adalah …..
Jawab :
Kita ambil saja bilangan terakhir pada setiap suku
1, 5, 11, 19, 29, ….
Selanjutnya bilangan-bilangan ini kita cari selisih-selisih antar sukunya sebagai berikut :
Dari setiap baris, kita ambil bilangan pertamanya, yaitu 1, 4, dan 2
maka a = 1, b = 4, c = 2
U50 = 1 + (50 — 1).4 + (50 — 1)(50 — 2).1
U50 = 1 + 196 + 2352 =2549
Jadi, bilangan terakhir pada kelompok ke 50 adalah 2.549
Contoh Soal 3 :
Semua bilangan asli kelipatan 3 dikelompokkan sebagai berikut
(3), (6, 9, 12), (15, 18, 21, 24, 27), (30, 33, 36, 39, 42, 45, 48) , (51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75), …..
Jumlah bilangan pada kelompok ke 101 adalah ……
Jawab :
Jika kita lanjutkan kelompok berikutnya adalah
(78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108)
(111, 114, 117, 120, 123, 126, 129, 132, 135, 138, 141, 144, 147)
U1 = 3
U2 = 6 + 9 + 12 = 27
U3 = 15 + 18 + 21 + 24 + 27 = 105
U4 = 30 + 33 + 36 + 39 + 42 + 45 + 48 = 273
U5 = 51 + 54 + 57 + 60 + 63 + 66 + 69 + 72 + 75 = 567
U6 =78 + 81 + 84 + 87 + 90 + 93 + 96 + 99 + 102 + 105 + 108 = 1023
U7 = 111 + 114 + 117 + 120 + 123 + 126 + 129 + 132 + 135 + 138 + 141 + 144 + 147 = 1677
Suku-suku ini kita cari selisihnya sebagai berikut
Selanjutnya bilangan-bilangan pertama masing-masing kita beri nama a, b, c, dan c
Jadi, a = 3, b = 24, c = 54, d = 36
Maka
a = 3 27 105 273 567 1023 1677
b = 24 78 168 294 456 654
c = 54 90 126 162 198
d = 36 36 36 36
Un = 3 + (n — 1)24 + (n — 1)(n — 2)54/2 + (n — 1)(n — 2)(n — 3)36/6
U101 = 3 + (100).24 + (100)(99).27 + (100)(99)(98).6
U101 = 3 + 2400 + 267.300 + 5.821.200 = 6.090.903
Jadi, jumlah bilangan pada kelompok ke 101 adalah 6.090.903