Super Matematika

Misalkan kita memiliki persamaan suku banyak

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + ….+ a₂xⁿ + a₁x + a_o = 0

Untuk mencari akar-akar rasional suku banyak maka maka kita harus bisa memfaktorkannya. Untuk itu ada beberapa hal yang harus kita cek.

1. Jika a_o = 0 maka salah satu akar suku banyak adalah 0 .

2. Jika jumlah koefisisen suku banyak adalah 0 maka satu akar suku banyak adalah 1 (suku banyak bisa dibagi x — 1)

3. Jika jumlah koefisien x yang berpangkat genap sama denga jumlah koefisin x yang berpangkat ganjil maka satu akar suku banyak adalah -1 (suku banyak bisa dibagi x + 1)

4. Jika langkah nomor 1, 2, dan 3 sudah tidak bisa dilakukan maka bagilah suku banyak dengan x — k dengan k adalah faktor dari a_o

5. Jika langkah nomor 4 sudah tidak bisa dilakukan maka bagilah suku banyak dengan x — m dengan m adalah faktor dari a_o/a_n .

Catatan : Jika kita mengerjakan satu langkah, dan menemukan akar yang besarnya p maka suku banyak yang kita kerjakan pada langkah selanjutnya adalah suku banyak yang sudah dibagi dengan x — p

 

 

Contoh soal 1 :

Tentukan akar-akar rasional suku banyak

x⁴ — 6x³ + 11x² — 6x = 0

Jawab :

Nilai a_o = 0 maka salah satu akarnya adalah 0 sehingga

x(x³ — 6x² + 11x – 6) = 0

Sekarang kita selesaiakan polinom derajat 3 yang ada di dalam kurung

jumlah koefisien 1 — 6 + 11 — 6 = 0 sehingga salah astu akarnya adalah 1, maka suku banyak kita bagi dengan x — 1

dengan demikian suku banyak bisa difaktorkan menjadi

x(x — 1)(x² – 5x + 6) = 0

x(x — 1)(x — 2)(x — 3) = 0

x = 0 atau x = 1 atau x = 2 atau x = 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 1, 2, 3}

 

Contoh soal 2 :

Tentukan akar-akar rasional suku banyak

x⁵ — 4x⁴ – 3x³ + 10x² + 8x = 0

Jawab :

Nilai a_o = 0 maka salah satu akarnya adalah 0 sehingga

x(x⁴ — 4x³ – 3x² + 10x + 8)=0

Sekarang kita selesaiakan polinom derajat 4 yang ada di dalam kurung

Jumlah koefisien adalah

1 — 4 — 3 + 10 + 8 = 12 (tidak nol) sehingga polinom tidak bisa dibagi oleh x — 1

Jumlah koefisien x pangkat genap = 1 — 3 + 8 = 6

Jumlah koefisien x pangkat ganjil = -4 + 10 = 6

Jumlah koefisien x pangkat genap =Jumlah koefisien x pangkat ganjil sehingga polinom bisa dibagi oleh x + 1

 

Suku banyak menjadi

x(x+1)(x³ – 5x² + 2x + 8)=0

Sekarang kita selesaiakan polinom derajat 3 yang ada di dalam kurung

Jumlah koefisien x pangkat ganjil = 1 + 2 = 3

Jumlah koefisien x pangkat genap = -5 + 8 = 3

Jumlah koefisien x pangkat genap =Jumlah koefisien x pangkat ganjil sehingga polinom bisa dibagi oleh x + 1

 

suku banyak menjadi

x(x + 1)(x + 1) (x² – 6x + 8) = 0

Selanjutnya kita faktorkan menjadi

x(x + 1)(x + 1)( x — 2)(x — 4) = 0

x = 0 atau x = -1 atau x = 2 atau x = 4

Jadi himpunan penyelesaiannya {-1, 0, 2, 4}

 

Contoh Soal 3 :

Tentukan akar-akar rasional suku banyak

x⁴ – 7x³ + 8x² + 28x — 48 = 0

Jawab :

Nilai a_o = -48, jadi suku banyak tidak memiliki akar bernilai 0

Jumlah koefisien 1 — 7 + 8 + 28 — 48 = -18 (karena jumlah koefisien tidak 0 maka suku banyak tidak memiliki akar bernilai 1)

Jumlah koefisien x berpangkat genap = 1 + 8 – 48 = -39

Jumlah koefisien x berpangkat ganjil = -7 + 28 = 21

Karena koefisien x berpangkat genap tidak sama dengan jumlah koefisien x berpangkat ganjil maka suku banyak tidak memiliki akar bernilai -1

Sekarang kita cari akar-akar dari faktor -48

48 = 1×48 = 2 x 24 = 3 x 16 = 4 x 12 = 6 x 8

Jadi kita coba x = 2

Jadi suku banyak bisa kita faktorkan menjadi

(x — 2)(x³ – 5x² – 2x + 24) =0

Selanjutnya kita suku banyak derajat 3 kita bagi lagi dengan x — 2

Karena sisa = 8 (bukan 0) maka pembagian ini gagal, jadi kita pilih x = -2

Jadi, suku banyak bisa kita tulis menjadi

(x — 2)(x + 2)(x² – 7x + 12) = 0

Bagian persamaan kuadrat bisa difaktorkan lagi sehingga

(x — 2)(x + 2)(x – 3)(x – 4) = 0

Jadi

x = 2 atau x = -2 atau x = 3 atau x = 4

Maka himpunan penyelesaiannya adalah

{-2, 2, 3, 4}

 

Contoh Soal 4 :

Himpunan penyelesaian dari persamaan

x⁵ – 2x⁴ – 16x³ + 19x² + 58x — 24 = 0

Jawab :

Nilai a_o = -24 (bukan 0) jadi suku banyak tidak memiliki akar bernilai 0.

Jumlah koefisien = 1 — 2 — 16 + 19 + 58 — 24 = 36 (bukan 0) sehingga suku banyak tidak memiliki akar bernilai 1

Jumlah koefisien x pangkat ganjil = 1 — 16 + 58 = 43

Jumlah koefisien x pangkat genap = -2 + 19 — 24 = — 7

Jumlah koefisien x pangkat ganjil tidak sama dengan jumlah koefisien x pangkat genap sehingga suku banyak tidak memiliki akar bernilai -1

Selanjutnya akar kita cari dari faktor a_o = -24 yaitu {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

1 tidak usah kita pilih, karena 1 dan -1 bukan akar

Jika kita piih 2 berarti kita coba 2 dan -2, mana yang menyebabkan sisa = 0

Ternyata setelah kita coba x =2 maka sisa tidak 0, ini berarti x =2 bukan akar suku banyak.

Sekarang kita coba untuk x = -2

Ternyata sisanya = 0, ini berarti x = -2 merupakan akar.

Sekarang suku banyak bisa kita tulis menjadi

(x + 2)(x⁴ – 4x³ – 19x² + 58x — 24) = 0

sekarang x⁴ – 4x³ – 19x² + 58x — 24 kita bagi dengan x + 3 sehingga diperoleh

Ternyata sisanya 0, ini berarti x = -3 merupakjan akar suku banyak, sekarang suku banyak bisa difaktorkan menjadi

(x + 2)(x + 3)(x³ – 7x² + 13x — 4) = 0

Selanjutnya x³ – 7x² + 13x — 4 kita bagi dengan x — 4

Sekarang suku banyak bisa difaktorkan menjadi

(x + 2)(x + 3)(x — 4)(x² – 3x + 1) = 0

Bagian x² – 3x + 1 = 0 harus kita selesaiakan dengan rumus ABC sehingga

Dengan demikian nilai x yang memenuhi persamaan suku banyakadalah

x = -2, x = -3, x = 4, dan

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

Contoh Soal 5 :

Himpunan penyelesaian dari persamaan

6x⁶ – 43x⁵ + 103x⁴ – 92x³ + 47x² – 99x + 90 = 0

adalah …

Jawab :

Dari hasil pengecekan bentuk di atas tidak memiliki akar -1, 0 ataupun 1. Setelah kita cek, ternyata nilai x bulat yang memenuhi adalah 2 dan 3

Selanjutnya hasil baginya kita bagi dengan x — 3

Jadi persamaan bisa ditulis menjadi

(x — 2)(x — 3)(6x⁴ – 13x³ + 2x² – 4x + 15) = 0

selanjutnya kita mencari akar persamaan 6x⁴ – 13x³ + 2x² – 4x + 15 = 0

konstanta 15 memiliki faktor {1, 3, 5, 15}. Akan tetapi semua nilai tidak ada yang memenuhi.

Selanjutnya kita gunakan faktor dari 15/6 yaitu {1/6, 3/6, 5/6, 15/6, 1/3, 3/3, 5/3, 15/3, 1/2, 3/2, 5/2, 15/2,}

Setelah kita coba, yang memenuhi adalah 3/2 dan 5/3

selanjutnya 6x³ – 4x² – 4x – 10 juga kita bagi

Jadi jika kita tulis semua pemfaktoran

atau bisa juga menjadi

(x — 2)(x — 3)(2x — 3)(3x — 5)(x² + x + 1) = 0

jadi

x = 2 , x = 3, x = 3/2 dan x = 5/3

Sedangkan persamaan x² + x + 1 = 0 tidak memiliki akar real

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

{3/2, 5/3, 2, 3}