Teorema Vieta Pada Persamaan Kubik
Persamaan kubik memiliki bentuk umum ax3 + bx2 + cx + d = 0 dengan a tidak boleh nol. Persamaan ini akan memiliki 3 akar, yaitu x1, x2, dan x3. Ketiga akar ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
x1 + x2 + x3 = — b/a
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a
x1x2x3 = — d/a
Sifat-sifat ini yang sering diberi nama teorema vieta
Untuk lebih memahami, mari kita lihat contoh-contoh soal berikut :
Contoh Soal 1
Persamaan 2x3 — 8x2 + 6x — 9 = 0 memiliki akar-akar p, q dan r. Tentukan nilai dari
a. p2qr + pq2r + pqr2
b.p2q2r + p2qr2 + pq2r2
c.p2 + q2 + r2
d.
e.
f.p3q2r2 + p2q3r2 + p2q2r3
g.p3q3r2 + p3q2r3 + p2q3r3
Jawab :
a = 2 b = — 8 c = 6 d = — 9
p + q + r = — b/a = 8/2 = 4
pq + pr + qr = c/a = 6/2 = 3
pqr = –d/a = 9/2
poin a
p2qr + pq2r + pqr2
= pqr(p + q + r) = 9/2.(4) = 18
poin b
p2q2r + p2qr2 + pq2r2
= pqr(pq + pr + qr)
= (9/2)(3) = 27/2 = 13,5
poin c
p2 + q2 + r2
=(p + q + r)2 — 2(pq + pr + qr)
= 42 — 2(3) = 16 — 6 = 10
poin d
poin e
poin f
p3q2r2 + p2q3r2 + p2q2r3 = p2q2r2 (p + q + r)
. = (pqr)2 (p + q + r) = (9/2)2 (4) = 81
poin g
p3q3r2 + p3q2r3 + p2q3r3 = p2q2r2 (pq + pr + qr)
. = (pqr)2 (pq + pr + qr) = (9/2)2 (3) = 243/4
Contoh soal 2 :
Akar-akar persamaan kubik x3 — 6x2 + 7x + 3 = 0 adalah k, m, dan n. Tentukan nilai dari (k — 2)(m — 2)(n — 2) = …
Jawab :
k + m + n = –b/a = 6
km + kn + mn = c/a = 7
kmn = –d/a = –3
(k — 2)(m — 2)(n — 2)
= (k — 2)(mn — 2m — 2n + 4)
= (k — 2)(mn — 2(m + n) + 4)
= kmn — 2k(m + n) + 4k — 2mn + 4(m + n) — 8
= kmn — 2km –2kn + 4k — 2mn + 4m + 4n — 8
= kmn — 2(km + kn + mn) + 4(k + m + n) — 8
= –3 — 2(7) + 4(6) — 8
= –3 — 14 + 24 — 8 = –1
Contoh Soal 3 :
Salah satu akar persamaan x3 — 8x2 + 2x + k = 0 adalah 3. Jumlah kedua akar yang lain adalah ….
Jawab :
x1 = 3 maka x2 + x3 = ….
x1 + x2 + x3 = — b/a = 8
3 + x2 + x3 = 8
x2 + x3 = 5
Contoh Soal 4 :
Agar persamaan x3 — x2 — 16x + 2k — 30 = 0 memiliki akar kembar dan bernilai bulat maka nilai k sama dengan
Jawab :
Karena kembar, maka akar-akar bisa dimisalkan
x1 = m x2 = n dan x3 = n
x1 + x2 + x3 = –b/a = 1
m + n + n = 1
m = 1 — 2n
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = –16
mn + mn + n2 = –16
2mn + n2 = –16
2(1 — 2n)n + n2 = –16
2n — 4n2 + n2 = –16
–3n2 + 2n + 16 = 0
3n2 — 2n — 16 = 0
(n + 2)(3n — 8) = 0
n = –2 atau n = 8/3
karena akar bernilai bulat maka n = –2
m = 1 — 2n = 1 + 4 = 5
x1.x2.x3 = –d/a = 2k — 30
mnn = –(2k — 30)
5.( –2)( –2) = –2k + 30
20 = –2k + 30
2k = 10
k = 5
Contoh Soal 5 :
Agar akar-akar persamaan kubik x3 — 12 x2 + (5t + 4)x — 48 = 0 membentuk daret aritmetika maka nilai t adalah ….
Jawab :
Karena deret aritmetika, maka akar-akar bisa dimisalkan
x1 = m x2 = m + n x3 = m + 2n
x1 + x2 + x3 = — b/a = 12
m + m + n + m + 2n = 12
3m + 3n = 12
m + n = 4
m = 4 — n
x1x2x3 = –d/a = 48
m(m+n)(m + 2n) = 48
(4 — n)( 4 — n + n)( 4 — n + 2n) = 48
(4 — n).4.( 4 + n) = 48
(4 — n)(4 + n) = 12
16 — n2 = 12
16 — 12 = n2
n2 = 4
n = 2 atau n = –2
Untuk n = 2 maka
m = 4 — n = 4 — 2 = 2
x1 = m = 2 x2 = m + n = 0 x3 = m + 2n = –2
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = 5t + 4
2.0 + 2(–2) + 0.( –2) = 5t + 4
–4 = 5t + 4
5t = –8 maka t = –1,6
Untuk n = –2
m = 4 — n = 4 + 2 = 6
x1 = m = 6 x2 = m + n = 4 x3 = m + 2n = 2
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = 5t + 4
6.4 + 6.2 + 4.2 = 5t + 4
24 + 12 + 8 = 5t + 4
44 = 5t + 4
40 = 5t
t = 8
Contoh Soal 6 :
Agar akar-akar persamaan kubik x3 — 21x2 + (h + 3)x — 216 = 0 membentuk daret geometri maka nilai h adalah ….
Jawab :
Karena membentuk deret geometri maka bisa dimisalkan
x1 = p x2 = pr x3 = pr2
x1.x2.x3 = –d/a = 216
p.pr.pr2 = 216
p3r3 = 216
(pr)3 = 63
pr = 6
p = 6/r
x1 + x2 + x3 = –b/a = 21
p + pr + pr2 = 21
6/r + (6/r)r + (6/r)r2 = 21
6/r + 6 + 6r = 21
Jika kedua ruas dikali r maka
6 + 6r + 6r2 = 21r
6r2 — 15r + 6 = 0
Jika kedua ruas dibagi 3 mala
2r2 — 5r + 2 = 0
(r — 2 ) (2r — 1) = 0
r = 2 atau r = ½
Untuk r = 2 maka p = 6/r = 3
x1 = p = 3 x2 = pr = 6 x3 = pr2 = 12
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = h + 3
3.6 + 3.12 + 6.12 = h + 3
18 + 36 + 72 = h + 3
126 = h + 3
h = 123
Untuk r = ½ maka p = 6/(½) = 12
x1 = p = 12 x2 = pr = 6 x3 = pr2 = 3
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = h + 3
12.6 + 12.3 + 6.3 = h + 3
72 + 36 + 18 = h + 3
126 = h + 3
h = 123
Contoh Soal 7 :
Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x3 — 6x2 + 5px — 2 = 0 sama dengan jumlah kuadrat akar-akar persamaan 2x3 — 6x2 + 2px + 9 = 0. Maka nilai m sama dengan …
Jawab :
Misalkan akar-akar persamaan 3x3 — 6x2 + 10x — p = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka
x1 + x2 + x3 = — b/a = 6/3 = 2
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = 5p/3
x1x2x3 = — d/a = 2/3
Jumlah kebalikan akar-akarnya adalah
Misalkan akar-akar persamaan 2x3 — 6x2 + 2px + 9 = 0 adalah p, q, r
p + q + r = – b/a = 6/2 = 3
pq + pr + qr = c/a = 2p/2 = p
pqr = –d/a = –9/2
Jumlah kuadrat akar-akarnya adalah
p2 + q2 + r2 = (p + q + r)2 — 2(pq + pr + qr) = 9 — 2p
Jumlah kebalikan akar = jumlah kuadrat akar
5p = 18 — 4p
9p = 18
p = 2
Contoh soal 8
Jika akar-akar persamaan x3 — 5x2 — 4x — 3 = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka nilai dari
a.x13 + x23 + x33
b.x14 + x24 + x34
Jawab :
x1 + x2 + x3 = — b/a = 5
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = –4
x1x2x3 = — d/a = 3
x12 + x22 + x32 = (x1+x2+x3)2 — 2(x1x2+x1x3+x2x3) = 25 + 8 = 33
Persamaan polinom bisa kita ubah sebagai berikut
x3 = 5x2 + 4x + 3
nilai x ini bisa kita ganti dengan x1, x2, dan x3, sehingga
x13 = 5x12 + 4x1 + 3
x23 = 5x22 + 4x2 + 3
x33 = 5x32 + 4x3 + 3
Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka
x13 + x23 + x33 = 5(x12 + x22 + x32) + 4(x1 + x2 + x3 ) + 9
= 5(33) + 4(5) + 9 = 165 + 20 + 9 = 194
Sekarang kita tentukan nilai x14 + x24 + x34
x3 = 5x2 + 4x + 3
Jika dikali dengan x maka
x4 = 5x3 + 4x2 + 3x
Jika x kita ganti dengan x1, x2, dan x3, maka
x14 = 5x13 + 4x12 + 3x1
x24 = 5x23 + 4x22 + 3x2
x34 = 5x33 + 4x32 + 3x3
Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka
x14 + x24 + x34 = 5(x13 + x23 + x33) + 4(x12 + x22 + x32) + 3(x1 + x2 + x3)
= 5(194) + 4(33) + 3(5)
= 970 + 132 + 15 = 1117
Contoh soal 8
Persamaan polinom x3 –x2 + x — 1 = 0 adalah p, q, dan r, maka nilai dari p102 + q102 + r102 = …
Jawab :
p + q + r = – b/a = 1
pq + pr + qr = c/a = 1
pqr = –d/a = 1
p2 + q2 + r2 = (p + q + r)2 — 2(pq + pr + qr) = 1 — 2 = –1
Persamaan polinom bisa kita tulis menjadi
x3 = x2 — x + 1 ………………………………………..(1)
Jika persamaan (1) dikali dengan x maka
x4 = x3 — x2 + x ……………………………………..(2)
subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) maka
x4 = (x2 — x + 1) — x2 + x
x4 = 1
maka
x100 = (x4)25 = 125 = 1
x100 = 1
Jika kedua ruas dikali dengan x2 maka
x102 = x2 ……………………………………………………….(3)
Nilai x pada persamaan (3) bisa diganti dengan akar-akarnya, yaitu p, q, dan r sehingga
p102 = p2
q102 = q2
r102 = r2
Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka
P102 + q102 + r102 = p2 + q2 + r2 = –1
