Super Matematika

Persamaan kubik memiliki bentuk umum ax³ + bx² + cx + d = 0

Untuk sementara kita pecahkan dulu model soal yang lebih sederhana, yaitu

x³ + px + q = 0

Pertama kita misalkan x = m + n dengan m dan n adalah dua bilangan berbeda sehingga

(m + n)³ + p(m+ n) + q = 0

m³ + 3m²n + 3mn² + n³ + p(m + n) + q = 0

m³ + 3mn(m + n) + n³ + p(m + n) + q = 0

m³ + n³ + 3mn(m + n) + p(m + n) + q = 0

m³ + n³ + (3mn + p)(m + n) + q = 0 ………………………….(1)

Sekarang kita pilih

3mn + p = 0 sehingga

………………………………………………………….(2)

Persamaan (1) menjadi

m³ + n³ + q = 0 …………………………………………………..(3)

Sekarang kita subtitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga

Ketika kedua ruas dikalikan dengan n³ maka diperoleh

atau

………………………………………………………(4)

Persamaan (4) ini merupakan persamaan kubik dalam n³

sehingga a = 1, b = q dan

Maka D = b² — 4ac

D di sini kita sebut sebagai diskriminan persamaan kubik

Sifat-sifat diskriminan persamaan kubik :

D < 0 maka persamaan kubik memiliki 3 akar real

D = 0 maka persamaan kubik memiliki 3 akar real, dengan ketentuan paling tidak 2 kembar (bisa 2 kembar ataupun 3 kembar)

D > 0 maka persamaan kubik memiliki 1 akar real dan 2 akar tidak real

 

Bentuk umum dari persamaan kubik adalah

ax³ + bx² + cx + d = 0 dengan a ≠ 0

Persamaan ini memiliki 3 akar

Untuk mendapatkan akarnya ada 3 cara yang bisa dilakukan

1. Memfaktorkan

2. Menyederhanakan menjadi persamaan kuadrat

3. Menggunakan rumus

 

Cara I : memfaktorkan

Cara ini biasanya hanya dipakai untuk mencar akar-akar rasional

 

Contoh soal 1 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x³ — 7x² + 10x = 0

Jawab :

x³ — 7x² + 10x = 0

x(x² — 7x + 10) = 0

x(x — 2)(x — 5) = 0

x = 0 atau x = 2 atau x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 2, 5}

 

Contoh soal 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x³ — 3x² — 4x + 12 = 0

Jawab :

x³ — 3x² — 4x + 12 = 0

x² (x — 3) — 4(x — 3) = 0

(x² — 4)(x — 3)= 0

(x — 2)(x + 2)(x — 3) = 0

x = 2 atau x = -2 atau x = 3

 

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 2, 3}

 

Contoh soal 3 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x³ — 5x² — 25x + 125 = 0

 

Jawab :

x³ — 5x² — 25x + 125 = 0

x² (x — 5) — 25(x — 5) = 0

(x² — 25) (x — 5) = 0

(x — 5)(x + 5)(x — 5) = 0

x = 5 atau x = -5 atau x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-5, 5}

 

Contoh soal 4 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

x³ — 5x² — 2x + 10 = 0

Jawab :

x³ — 5x² — 2x + 10 = 0

x² ( x — 5) — 2(x — 5) = 0

(x² — 2)(x — 5) = 0

atau atau x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

Contoh soal 5 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x³ — x² + 6x — 2 = 0

Jawab :

3x³ — x² + 6x — 2 = 0

x² (3x — 1) + 2(3x — 1) = 0

(x² + 2)(3x — 1) = 0

x² = — 2 (tidak mungkin)

x = 1/3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

Contoh Soal 6

Himpunan penyelesaian dari x³ — 8x² + 19x — 12 = 0 adalah …

Jawab :

Karena tidak kelihatan bentuk istimewanya maka kita selesaiakn dengan metoda horner

Persamaan kubik bisa kita faktorkan menjadi

(x — 1)(x² — 7x + 12) = 0

(x — 1)(x — 3)(x — 4) = 0

x = 1 atau x = 3 atau x = 4

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {1, 3, 4}

 

Contoh Soal 7

Himpunan penyelesaian dari x³ — 6x² + 5x + 6 = 0 adalah …

Jawab :

Untuk memecahkan soal ini akan lebih mudah jika kita gunakan metoda horner

Maka persamaan kubik bisa difaktorkan menjadi

(x — 2)(x² — 4x — 3) = 0

x = 2 atau x² — 4x — 3 = 0

Untuk menyelesaiakan persamaan x² — 4x — 3 = 0 kita gunakan rumus ABC

 

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

 

Contoh soal 8 :

Himpunan penyelesaian dari 2x³ — 3x² + 14x + 8 = 0 adalah …

Jawab :

Sekarang kita lakukan pembagian Horner

Dengan demikian kita bisa memfaktorkan menjadi

(x + ½)(2x² — 4x + 16) = 0

atau

(2x + 1)(x² — 2x + 8) = 0

x = -1/2 atau x² — 2x + 8 = 0

Persamaan x² — 2x + 8 = 0 memiliki diskriminan

D = b² — 4ac = (-2)² — 4.1.8 = 4 — 32 = -28

Karena D < 0 maka x² — 2x + 8 = 0 tidak memiliki akar real

Dengan demikian himpunan penyelesaian persamaan 2x³ — 3x² + 14x + 8 = 0 adalah