Untuk menghitung limit trigonometri, akan lebih mudah jika kita menggunakan bantuan deret maclaurin. Menurut deret maclaurin, rumus sinus, cosinus dan tangen bisa dinyatakan dengan
Sinus :
Cosinus :
Tangen
Untuk membuktikan bentuk di atas silakan baca deret maclaurin sinus, deret maclaurin cosinus, dan deret maclaurin tangen.
Selanjutnya akan kita bahas soal-soal limit trigonometri dengan menggunakan deret maclaurin, namun sebelumnya disarankan untuk membaca artikel saya yang berjudul Antara Mendekati Nol Dan Tak Hingga. Pada bagian artikel tersebut dijelaskan bahwa jika x mendekati nol maka perhatikan x yang pangkatnya paling kecil.
Jadi harusnya pada ketiga deret maclaurin di atas jika nilai x mendekati nol maka bisa ditulis suku pertamanya saja.Sehingga
sin x ≈ x
cos x ≈ 1
tan x ≈ x
Jika x kita ganti dengan 2x maka
sin 2x ≈ 2x
cos 2x ≈ 1
tan 2x ≈ 2x
Secara umum jika x kita ganti dengan ax maka
sin ax ≈ ax
cos ax ≈ 1
tan ax ≈ ax
Bagaimana jika adabentuk 1 — cos x ?
untuk bentuk ini kita tidak bisa menganggap cos x ≈ 1. Karena jika cos x ≈ 1 maka bentuk 1 — cos x akan terlihat kehabisan suku. Maka kita harus memilih cos x dengan menggunaka 2 suku, sehingga cos x ≈ 1 — ½x2 .
Sehingga
1 — cos x ≈ 1 — (1 — ½x2) = 1 — 1 + ½x2= ½x2
Bagaimana dengan bentuk tan x – sin x ?
Tentu saja untuk bentuk tan x – sin x kita juga tidak oleh menggunakan satu suku. Masing-masing harus kita gunakan 2 suku
tan x — sin x ≈ x + ⅓ x3 — (x — ⅙ x3)
= x + ⅓ x3 — x + ⅙ x3 = ½ x3
Contoh soal 1 :
Jawab :
Kita akan menggunakan deret maclaurin cos x
cos x ≈ 1 — ½ x2 + …
Jadi
Contoh Soal 2 :
Jawab :
Dengan bantuan
sin x ≈ x — ⅙ x3 + …
tan x ≈ x + ⅓ x3 + …
Contoh Soal 3 :
Jawab :
Karena cos x ≈ 1 — ½ x2 + …
dan tan x ≈ x + ⅓ x3 + …
maka
Contoh Soal 4 :
Jawab :
Karena cos x ≈ 1 — ½ x2 + …
Maka cos 4x ≈ 1 — ½ (4x)2 + … = 1 — 8x2 + …
Sedangkan sin x ≈ x — ⅙ x3 + …≈ x
Sehingga sin 2x ≈ 2x — ⅙(2x)3 + …≈ 2x
(ketika x mendekati nol, kita bisa memperhatikan pangkat yang kebih rendah)
Akibatnya
Contoh Soal 5 :
Jawab :
Karena sin x ≈ x — ⅙ x3 + …≈ x
Maka sin 6x ≈ 6x — ⅙(6x)3 + …≈ 6x
Akibatnya
(ketika x mendekati nol, kita bisa memperhatikan pangkat yang kebih rendah)
Contoh Soal 6 :
Jawab :
Mengingat
sin x ≈ x — ⅙ x3 + …
tan x ≈ x + ⅓ x3 + …
maka
sin 2x ≈ 2x — ⅙ (2x)3 + … = 2x — 4/3 x3 + …
tan 3x ≈ 3x + ⅓ (3x)3 + …= 3x + 9x3 + …
Akibatnya :
