Limit

Cara Cepat Limit Trigonometri

Pembahasan cara cepat limit trigonometri

 

LT 01

 

 

 

Pembahasan cara biasa

LT 1

 

 

 

 

Cara Cepat, klik di sini

 

No 2

LT 02

 

 

 

Pembahasan cara biasa

LT 2

 

 

 

LT 2a

 

No 3

LT 03

 

 

 

Pembahasan cara biasa

LT 3

LT 3a

LT 3b

 

Pembahasan cara cepat nomor 1 — 3

LT 04

 

 

 

Pembahasan Cara Biasa

LT 4aLT 4b

 

No 5

LT 05

 

 

 

Pembahasan Cara Biasa

LT 5a

LT 5b

LT 5c

 

Atau bisa juga gunakan

cos 2 x = 1 — 2 sin2 x

artinya

cos 8x = 1 — 2 sin2 4x

cos x = 1 — 2 sin2 ½x

 

LT 5dLT 5e

 

 

No 6

LT 6

 

 

 

Pembahasan cara biasa

LT 6a

 

 

 

LT 6b

 

 

 

LT 6c

 

 

 

Pembahasan Cara Cepat Nomor 4 — 6

 

No 7

LT 7

 

 

 

Pembahasan cara biasa

LT 7a

 

 

 

LT 7b

LT 7c

 

No 8

LT 8

 

 

 

Pembahasan cara biasa

Karena LT 8a

Maka sin 2x = cos 2x . tan 2x

LT 8b

LT 8c

LT 8d

 

 

No 9

LT9

 

 

 

Pembahasan Cara biasa

Karena LT 9a

Maka sin 4x = tan 4x cos 4x

LT 9b

LT9c

LT9d

 

 

 

LT9e

 

 

 

 

No 10

LT10

 

 

 

Pembahasan cara biasa

Karena

LT10a

Maka

sin2 x = tan2 x cos2 x

LT10b

LT10c

LT10d

 

 

 

 

No 11

LT11

 

 

 

Pembahasan Cara Biasa

LT11a

 

 

LT11b

 

 

Pembahasan Cara Cepat No 7 — 11

 

 

No 12

LT12

 

 

 

Pembahasan cara biasa

Karena

cos A — cos B = – 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A — B)

maka

cos 2x — cos 14x = – 2 sin ½ (2x + 14x) sin ½ (2x — 14x)

= — 2 sin 8x sin (– 6x) = 2 sin 8x sin 6x

 

LT12a

 

 

 

LT12b

 

 

. = 2.1.1.48 = 96

Pembahasan Cara Cepat No 12

 

No 13

LT13

 

 

 

Pembahasan Cara Cepat No 13

 

xx

Limit Dengan Deret Maclaurin

Untuk menghitung limit trigonometri, akan lebih mudah jika kita menggunakan bantuan deret maclaurin. Menurut deret maclaurin, rumus sinus, cosinus dan tangen bisa dinyatakan dengan

 

Sinus :

Dm sinus

Cosinus :

DM cos

Tangen

DM tan

 

Untuk membuktikan bentuk di atas silakan baca deret maclaurin sinus, deret maclaurin cosinus, dan deret maclaurin tangen.

Selanjutnya akan kita bahas soal-soal limit trigonometri dengan menggunakan deret maclaurin, namun sebelumnya disarankan untuk membaca artikel saya yang berjudul Antara Mendekati Nol Dan Tak Hingga. Pada bagian artikel tersebut dijelaskan bahwa jika x mendekati nol maka perhatikan x yang pangkatnya paling kecil.

Jadi harusnya pada ketiga deret maclaurin di atas jika nilai x mendekati nol maka bisa ditulis suku pertamanya saja.Sehingga

sin x ≈ x

cos x ≈ 1

tan x ≈ x

Jika x kita ganti dengan 2x maka

sin 2x ≈ 2x

cos 2x ≈ 1

tan 2x ≈ 2x

Secara umum jika x kita ganti dengan ax maka

sin ax ≈ ax

cos ax ≈ 1

tan ax ≈ ax

Bagaimana jika adabentuk 1 — cos x ?

untuk bentuk ini kita tidak bisa menganggap cos x ≈ 1. Karena jika cos x ≈ 1 maka bentuk 1 — cos x akan terlihat kehabisan suku. Maka kita harus memilih cos x dengan menggunaka 2 suku, sehingga cos x ≈ 1 — ½x2 .

Sehingga

1 — cos x ≈ 1 — (1 — ½x2) = 1 — 1 + ½x2= ½x2

Bagaimana dengan bentuk tan x – sin x ?

Tentu saja untuk bentuk tan x – sin x kita juga tidak oleh menggunakan satu suku. Masing-masing harus kita gunakan 2 suku

tan x — sin x ≈ x + ⅓ x3 — (x — ⅙ x3)

= x + ⅓ x3 — x + ⅙ x3 = ½ x3

 

Contoh soal 1 :

LTM1

Jawab :

Kita akan menggunakan deret maclaurin cos x

cos x ≈ 1 — ½ x2 + …

Jadi

lTM1A

 

 

 

LTM1B

 

 

 

 

Contoh Soal 2 :

LTM2

Jawab :

Dengan bantuan

sin x ≈ x — ⅙ x3 + …

tan x ≈ x + ⅓ x3 + …

LTM2A

 

 

LTM2B

 

 

 

 

Contoh Soal 3 :

LTM3

Jawab :

Karena cos x ≈ 1 — ½ x2 + …

dan tan x ≈ x + ⅓ x3 + …

maka

LT3A

 

 

 

LT3B

 

 

Contoh Soal 4 :

LT4

Jawab :

Karena cos x ≈ 1 — ½ x2 + …

Maka cos 4x ≈ 1 — ½ (4x)2 + … = 1 — 8x2 + …

Sedangkan sin x ≈ x — ⅙ x3 + …≈ x

Sehingga sin 2x ≈ 2x — ⅙(2x)3 + …≈ 2x

(ketika x mendekati nol, kita bisa memperhatikan pangkat yang kebih rendah)

Akibatnya

LTM4A

 

 

 

LTM4B

 

 

 

 

Contoh Soal 5 :

LTM5

Jawab :

Karena sin x ≈ x — ⅙ x3 + …≈ x

Maka sin 6x ≈ 6x — ⅙(6x)3 + …≈ 6x

Akibatnya

LTM5A

 

 

 

LTM5B

 

 

 

(ketika x mendekati nol, kita bisa memperhatikan pangkat yang kebih rendah)

 

Contoh Soal 6 :

LTM6

Jawab :

Mengingat

sin x ≈ x — ⅙ x3 + …

tan x ≈ x + ⅓ x3 + …

maka

sin 2x ≈ 2x — ⅙ (2x)3 + … = 2x — 4/3 x3 + …

tan 3x ≈ 3x + ⅓ (3x)3 + …= 3x + 9x3 + …

Akibatnya :

LTM6A

LTM6B