Super Matematika

Deret maclaurin untuk tangen agak berbeda dengan deret maclaurin pada sinus dan cosinus. Pada sinus dan cosinus, deret maclaurinnya terlihat teratur. Pada tangen, deret maclaurinnya kurang begitu teratur nilai koefisiennya. Untuk menentukan deret maclaurin tangen kita bisa melakukan pembagian deret maclaurin sinus dengan deret maclaurin cosinus. Hal ini mengingat bahwa tan x = (sin x) / (cos x).

Akan tetapi di sini kita akan membahas deret maclaurin tangen dengan menggunakan bentuk umum. Bentuk umum deret maclaurin adalah sebagai berikut

Jika kita memilih f(x) = tan x maka harus kita cari dulu turunan-turunannya.

Turunan pertama

f ‘(x) = sec² x = tan² x + 1

Jika kita turunkan lagi maka

f ’’(x) = 2tan x sec² x = 2 tan x (tan² x + 1) = 2tan³ x + 2 tan x

Sekarang kita turunkan lagi untuk mendapakan turunan ketiga

f’’’(x) = 6tan² x sec² x + 2 sec² x = 6tan² x (tan² x + 1) + 2(tan² x + 1)

= 6tan⁴ x + 6tan² x + 2tan² x + 2 = 6tan⁴ x + 8 tan² x + 2

Sekarang kita turunkan lagi untuk mendapakan turunan keempat

f⁽⁴⁾ (x) = 24tan³ x sec² x + 16tan x sec² x

= 24tan³ x (tan² x + 1) + 16tan x (tan² x + 1)

= 24tan⁵ x + 24tan³ x + 16tan³ x + 16tan x

= 24tan⁵ x + 40tan³ x + 16tan x

Sekarang kita turunkan lagi untuk mendapakan turunan keempat

f⁽⁵⁾ (x) = 120tan⁴ x sec² x + 120tan² x sec² x + 16sec² x

= 120tan⁴ x (tan² x + 1) + 120tan² x (tan² x + 1) + 16(tan² x + 1)

= 120tan⁶ x + 120tan⁴ x + 120tan⁴ x + 120tan² x + 16tan² x + 16

= 120tan⁶ x + 240tan⁴ x + 136tan² x + 16

 

Sekarang masing-masing fungsi kita subtitusi dengan x = 0, sehingga

f(0) = 0 f'(0) = 1 f”(0) = 0

f”'(0) = 2 f⁽⁴⁾ (0)= 0 f⁽⁵⁾ (0) = 16

Dengan mensubtitusikan nilai-nilai ini maka kita peroleh deret maclaurin untuk tan x adalah sebagai berikut

maka

Jadi deret maclaurin untuk tan x adalah sebagai berikut