Istilah definit digunakan untuk fungsi yang selalu positif atau selalu negatif. Jika definit positif maka fungsi akan selalu positif untuk nilai domain berapapun. Jika definit negatif maka fungsi akan selalu negatif untuk nilai domain berapapun.
Untuk fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c , kondisi definit dialami ketika D < 0 dengan D = b2 – 4ac
Definit positif terjadi jika a > 0 dan D < 0
Definit negatif terjadi jika a < 0 dan D < 0
Contoh soal 1 :
Nilai k agar fungsi kuadrat f(x) = (k+1)x2 – (4k+10)x + 5k+17 definit positif adalah ….
Jawab :
Agar definit positif maka (a > 0 dan D < 0)
a > 0
k+1> 0
k > –1 …………………………….(1)
D < 0
b2 – 4ac < 0
(4k+10)2 – 4(k+1)(5k+17) < 0
16k2 + 80k + 100 – 4(5k2 + 17k + 5k + 17) < 0
16k2 + 80k + 100 — 20k2 – 68k — 20k — 68 < 0
–4k2 – 8k + 32 < 0
k2 + 2k – 8 > 0
(k + 4)(k – 2) > 0
Jika hasil ini diiriskan dengan pertidaksamaan (1) maka
Jadi k > 2
Contoh Soal 2 :
Agar bentuk (n – 1)x2 + (10 – 6n)x + 10n – 22 <0 untuk setiap x real maka nilai n adalah …
Jawab :
< 0 untuk setiap x real, berarti definit negatif
Maka (a < 0 dan D < 0)
a < 0
n – 1 < 0
n < 1 ……………………………..(2)
D < 0
(10 – 6n)2 – 4(n – 1)(10n – 22) < 0
(10 – 6n)2 – 4(10n2 – 32n + 22) < 0
100 – 120n + 36n2 – 40n2 + 128n – 88 < 0
– 4n2 + 8n + 12 < 0
n2 – 2n — 3 > 0
(n – 3)(n + 1) > 0
Jika hasil ini diiriskan dengan pertidaksamaan (2) maka
Jadi, n < 1
Contoh Soal 3 :
Agar parabola y = (m–2)x2 + 20x – 40 terletak di atas garis y = 6mx – 10m + 4 untuk setiap x real maka nilai m yang memenuhi adalah …
Jawab :
yp = (m–2)x2 + 20x – 40 yg = 6mx – 10m + 4
y fungsi yang di atas > y fungsi yang di bawah
yp > yg
(m–2)x2 + 20x – 40 > 6mx – 10m + 4
(m–2)x2 + 20x — 6mx + 10m — 44 > 0
(m–2)x2 + (20 — 6m)x + 10m — 44 > 0
Bentuk ini definit positif maka
a > 0
m–2 > 0
m > 2 ……………………………(3)
D < 0
(20 — 6m)2 – 4(m – 2)(10m – 44) < 0
400 – 240m + 36m2 – 4(10m2 – 64m + 88) < 0
400 – 240m + 36m2 – 40m2 + 256m — 352 < 0
–4m2 + 16m + 48 < 0
m2 – 4m – 12 < 0
(m – 6)(m + 2) < 0
Jika diiriskan dengan pertidaksamaan (3) maka diperoleh
Jadi m > 6
Contoh Soal 4 :
Agar parabola y = (t – 5)x2 + 12x — 1 selalu terletak di bawah garis y = 4tx + 8 — 5t untuk setiap x real maka nilai t yang memenuhi adalah …
Jawab :
yp = (t – 5)x2 + 12x — 1 yg = 4tx + 8 — 5t
y fungsi yang di bawah < y fungsi yang di atas
yp < yg
(t – 5)x2 + 12x — 1 < 4tx + 8 — 5t
(t – 5)x2 + (12 – 4t) x + 5t – 9 < 0
Bentuk ini merupakan definit negatif (karena < 0) sehingga
a < 0
t — 5 < 0
t < 5 ……………………………………..(4)
D < 0
(12 — 4t)2 – 4(t – 5)(5t — 9) < 0
144 – 96t + 16t2 – 4(5t2 – 34t + 45) < 0
144 – 96t + 16t2 – 20t2 + 136t – 180 < 0
– 4t2 + 40t – 36 < 0
t2 – 10t + 9 > 0
(t – 1)(t – 9) > 0
Jika diiriskan dengan pertidaksamaan (4) maka diperoleh
Jadi t < 1
Hubungan Fungsi Kuadrat Dan Garis
Koordinat Titik Puncak Fungsi Kuadrat
Lanjutan Menyusun Fungsi Kuadrat
Kecekungan Grafik Fungi Kuadrat
Soal Soal Fungsi Kuadrat Yang Jarang Ditemukan
Titik Titik Potong Fungsi Kuadrat