Trigonometri merupakan fungsi yang periodik, karena itu penyelesaian persamaan trigonometri memiliki cara terendiri. Siswa SMA terkadang main hantam saja ketika menyelesaiakan persamaan trigonometri tanpa memperdulikan aturan yang ada.
Aturan-aturan dalam persamaan trigonometri
Untuk n bilangan bulat berlaku
sin x = sin θ
x = θ + n.360o
x = 180o — θ + n.360o
cos x = cos θ
x = θ + n.360o
x = -θ + n.360o
tan x = tan θ
x = θ + n.180o
Contoh soal 1
Untuk 0o ≤ x ≤ 360o tentukan himpunan penyelesaian dari
sin 3x = 1/2
Jawab :
sin 3x = 1/2
sin 3x = sin 30o
3x = 30o + n.360o
x = 10o + n.120o
untuk n = 0 maka x = 10o
untuk n = 1 maka x =130o
untuk n = 2 maka x =250o
3x = 180o — 30o + n.360o
x = 50o + n.120o
untuk n = 0 maka x = 50o
untuk n = 1 maka x = 170o
untuk n = 2 maka x = 290o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{10o, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o}
Contoh soal 2
Untuk 0o ≤ x ≤ 180o tentukan himpunan penyelesaian dari
cos 5x = 1/2 √2
Jawab :
cos 5x = 1/2 √2
cos 5x = cos 45o
5x = 45o + n.360o
x = 9o + n.72o
untuk n = 0 maka x =9o
untuk n = 1 maka x =81o
untuk n = 2 maka x =153o
5x = -45o + n.360o
x = -9o + n.72o
untuk n = 1 maka x = 63o
untuk n = 2 maka x = 135o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{9o, 63o, 81o, 135o, 153o}
Contoh soal 3
Himpunan penyelesaian dari persamaan
tan 4x = √3 0o ≤ x ≤ 360o
adalah ….
Jawab :
tan 4x = √3
tan 4x = tan 60o
4x = 60o + n.180o
x = 15o + n.45o
untuk n = 0 maka x = 15o
untuk n = 1 maka x = 60o
untuk n = 2 maka x = 105o
untuk n = 3 maka x = 150o
untuk n = 4 maka x = 195o
untuk n = 5 maka x = 240o
untuk n = 6 maka x = 285o
untuk n = 7 maka x = 330o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{15o, 60o, 105o, 150o, 195o, 240o, 285o, 330o}
Contoh soal 4 :
Himpunan penyelesaian dari persamaan
sin 3x = cos 2x
dengan 0o ≤ x ≤ 360o adalah …
Jawab :
sin 3x = cos 2x
sin 3x = sin (90o — 2x)
3x = 90o — 2x + n.360o
5x = 90o + n.360o
x = 18o + n.72o
untuk n = 0 maka x = 18o
untuk n = 1 maka x = 90o
untuk n = 2 maka x = 162o
untuk n = 3 maka x = 234o
untuk n = 4 maka x = 306o
3x = 180o — (90o — 2x) + n.360o
3x = 90o + 2x + n.360o
x = 90o + n.360o
untuk n = 0 maka x = 90o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adakah
{18o, 90o, 162o, 234o, 306o}
Contoh Soal 5 :
Diketahui persamaan sin 5x + sin 3x = cos x
dengan 0o ≤ x ≤ 360o . Himpunan penyelesaiannya adalah …
Jawab :
sin 5x + sin 3x = √3 cos x
2 sin 1/2 (5x + 3x) cos 1/2 (5x — 3x) = √3 cos x
2 sin 4x cos x = √3 cos x
2 sin 4x cos x — √3 cos x = 0
cos x ( 2 sin 4x — √3) = 0
cos x = 0 atau sin 4x = 1/2 √3
cos x = 0
cos x = cos 90o
x = 90o + n.360o
untuk n = 0 maka x = 90o
x = -90o + n.360o
untuk n = 1 maka x = 270o
sin 4x = 1/2 √3
sin 4x = sin 60o
4x = 60o + n.360o
x = 15o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 15o
untuk n = 1 maka x = 105o
untuk n = 2 maka x = 195o
untuk n = 3 maka x = 285o
4x = 180o — 60o + n.360o
4x = 120o + n.360o
x = 30o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 30o
untuk n = 1 maka x = 120o
untuk n = 2 maka x = 210o
untuk n = 3 maka x = 300o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{15o, 30o, 90o, 105o, 120o, 195o, 210o, 270o, 285o, 300o}
Contoh Soal 6 :
Himpunan penyelesaian dari persamaan
√3 tan2 2x — 4tan 2x + √3 = 0
dengan 0o ≤ x ≤ 360o adalah …
Jawab :
√3 tan2 2x — 4tan 2x + √3 = 0
untuk lebih mudahnya kita gunakan rumus ABC
Kemungkinan 1 :
tan 2x = tan 60o
2x = 60o + n.180o
x = 30o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 30o
untuk n = 1 maka x = 120o
untuk n = 2 maka x = 210o
untuk n = 3 maka x = 300o
Kemungkinan 2 :
tan 2x = tan 30o
2x = 30o + n.180o
x = 15o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 15o
untuk n = 1 maka x = 105o
untuk n = 2 maka x = 195o
untuk n = 3 maka x = 285o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{15o, 30o, 105o, 120o, 195o, 210o, 285o, 300o}