Bentuk umum persamaan hiperbola ada 2 kemungkinan, yaitu :
• Hiperbola horizontal
Ax2 — By2 + Cx + Dy + E = 0
• Hiperbola vertical
Ay2 — Bx2 + Cx + Dy + E = 0
Untuk menghitung unsur-unsur yang ada di persamaan hiperbola ini, akan jauh lebih mudah jika persamaan kita ubah menjadi
atau
Contoh soal 1
Diketahui Hiperbola dengan persamaan
25x2 — 144y2 — 300x — 288y – 2844 = 0
Tentukan
- Koordinat pusat
- Jarak pusat ke puncak
- Jarak antar puncak
- Jarak pusat ke fokus
- Jarak antar fokus
- Koordinat puncak
- Koordinat fokus
- Panjang latus rectum
- Eksentrisitas
- Persamaan asimtot
- Persamaan direktris
Jawab :
25x2 — 144y2 — 300x — 288y – 2844 = 0
25x2 — 300x — 144y2 — 288y = 2844
25(x2 — 12x) — 144(y2 + 2y) = 2844
25[(x — 6)2 — 36] — 144[(y + 1)2 — 1] = 2844
25(x — 6)2 — 900 — 144(y + 1)2 + 144 = 2844
25(x — 6)2 — 144(y + 1)2 = 2844 — 144 + 900
25(x — 6)2 — 144(y + 1)2 = 3600
Jika kedua ruas dibagi dengan 3600 maka :
Jenis hiperbola adalah horizontal
a2 = 144 maka a = 12
b2 = 25 maka b = 5
c2 = a2 + b2 = 144 + 25 = 169 maka c = 13
Koordinat pusat (6, — 1)
Jarak antar puncak = 2a = 24
Jarak pusat ke fokus = c = 13
Jarak antar fokus = 2c = 26
Koordinat puncak (12, 0)dan ( — 12 , 0)
Untuk memudahkan cara mencari puncak adalah sebagai berikut :
Untuk mendapatkan puncak maka absis pusat x = 6 kita tambah dengan a=12 atau kita kurangi dengan 12
Puncak kanan diperoleh dengan menambah absis dengan 12. x = 6 + 12 = 18, jadi puncaknya (18, –1)
Puncak kiri diperoleh dengan mengurangi absis dengan 12. x = 6 — 12 = –6 , jadi puncaknya (–6, –1)
Koordinat fokus (13, 0)dan ( — 13 , 0)
Untuk mendapatkan fokus maka absis pusat x = 6 kita tambah dengan c=13 atau kita kurangi dengan 13
Fokus kanan diperoleh dengan menambah absis dengan 13. x = 6 + 13 = 19, jadi fokusnya (19, –1)
Fokus kiri diperoleh dengan mengurangi absis dengan 13. x = 6 — 13 = –7 , jadi fokusnya (–7, –1)
Panjang latus rectum
Eksentrisitas
Persamaan asimtot
Persamaan asimtot untuk hiperbola horizontal dengan pusat (p, q) adalah
12y + 12 = 5x — 30 atau 12y + 12 = –5x + 30
5x — 12y — 42 = 0 atau 5x + 12y — 18 = 0
Jika tidak hafal dengan rumus maka cara mencari asimtot adalah dengan mengubah bilangan 1 di ruas kanan menjadi 0
Persamaan hiperbola
5(x — 6) = 12(y + 1) atau 5(x — 6) = –12(y + 1)
5x — 30 = 12y + 12 atau 5x — 30 = –12y — 12
5x — 12y — 42 = 0 atau 5x + 12y — 18 = 0
Persamaan direktris
Jarak pusat ke direktris adalah
Untuk mendapatkan direktris maka absis yang ada di pusat (x = 6) kita tambah dengan 11 atau dikurangi 11
Direktris kanan x = 6 + 11 = 17
Direktris kiri x = 6 — 11 = –5