Super Matematika

Hiperbola dengan pusat (0,0) memiliki persamaan

Hiperbola horizontal :

Hiperbola vertikal :

Jika hiperbola kita geser ke kanan sejauh p dan ke atas sejauh q maka persamaannya menjadi

Hiperbola horizontal :

Hiperbola vertikal :

 

Semua aturan pada hiperbola

• Tidak ada aturan mana yang lebih besar di antara a dan b
• a² berada di area yang berkoefisien positif
• b² berada di area yang berkoefisien negatif
• a² + b² = c²
• jarak pusat ke puncak = a
• jarak pusat ke fokus = c
• jarak antar puncak 2a
• jarak antar fokus = 2c
• eksentrisitas e = c/a
• jarak pusat ke persamaan direktris = a/e

 

Contoh soal 1 :

Diketahui hiperbola

Tentukan

• Jarak pusat ke puncak
• Jarak pusat ke fokus
• Jarak antara 2 puncak
• Jarak antara 2 fokus
• Koordinat titik pusat
• Koordinat titik puncak
• Koordinat titik fokus
• Eksentrisitas
• Panjang latus rectum
• Persamaan asimtot
• Persamaan direktris

 

Jawab :

a² = 9 maka a = 3

b² = 16 maka b = 4

akibatnya

c² = a² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

maka c = 5

• Jarak pusat ke puncak = a = 3
• Jarak pusat ke fokus = c = 5
• Jarak antara 2 puncak = 2a = 6
• Jarak antara 2 fokus = 2c = 10
• Koordinat titik pusat (–2, 3)
• Koordinat puncak (1, 3) dan (–5, 3)

Untuk menentukan koordinat puncak kita bisa menggunakan bantuan gambar sebagai berikut

Untuk menentukan puncak bagian kanan, absis titik pusat kita tambah dengan a = 3, sehingga menjadi

–2 + 3 = 1 maka puncaknya (1, 3)

Untuk menentukan puncak bagian kiri, absis titik pusat kita kurangi dengan a = 3, sehingga menjadi

–2 — 3 = –5 maka puncaknya (–5, 3)

 

 

• Koordinat fokus (3, 3) dan (–7, 3)

Untuk menentukan koordinat fokus kita bisa menggunakan bantuan gambar sebagai berikut

 

Untuk menentukan fokus bagian kanan, absis titik pusat kita tambah dengan c = 5, sehingga menjadi

–2 + 5 = 3 maka fokusnya f₁(3, 3)

Untuk menentukan fokus bagian kiri, absis titik pusat kita kurangi dengan c = 5, sehingga menjadi

–2 — 5 = –7 maka fokusnya f₂(–7,3)

 

• Ekentrisitas e = c/a = 5/3
• Panjang Latus rectum = 2b²/a = 2.4²/5 = 32/5 = 6,4
• Persamaan asimtot

Cara termudah untuk mencari persamaan asimtot tanpa memakai rumus adalah dengan mengubah bilangan 1 pada persamaan hiperbola dengan 0

Persamaan hiperbola :

Persamaan asimtotnya adalah

Jika kita pilih bagian positif

3y — 9 = 4x + 8

4x — 3y + 17 = 0

Jika kita pilih yang negatif

3y — 9 = — (4x + 8)

3y — 9 = –4x — 8

4x + 3y — 1 = 0

Jadi persamaan asimtottnya ada 2, yaitu 4x — 3y + 17 = 0 dan 4x + 3y — 1 = 0

 

• Persamaan direktris

Jarak pusat ke direktris adalah

Unuk menentukan persamaan direktrisnya, perhatikan gambar berikut :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Puncak adalah (– 2, 3) sehingga absisnya adalah x = –2

Untuk direktris 1 (bagian kanan) maka nilai absis puncak ditambah 9/5

Untuk direktris 1 (bagian kiri) maka nilai absis puncak dikurangi 9/5

Jadi persamaan direkrisnya adalah dan

 

Contoh soal 2 :

Diketahui hiperbola

Tentukan

• Jarak pusat ke puncak
• Jarak pusat ke fokus
• Jarak antara 2 puncak
• Jarak antara 2 fokus
• Koordinat titik pusat
• Koordinat titik puncak
• Koordinat titik fokus
• Eksentrisitas
• Panjang latus rectum
• Persamaan asimtot
• Persamaan direktris

Jawab :

a² = 36 maka a = 6

b² = 64 maka b = 8

akibatnya

c² = a² + b² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

maka c = 10

• Jarak pusat ke puncak = a = 6
• Jarak pusat ke fokus = c = 10
• Jarak antara 2 puncak = 2a = 12
• Jarak antara 2 fokus = 2c = 20
• Koordinat titik pusat (5, –4)
• Koordinat puncak (5, 2) dan (5, –10)

 

Untuk menentukan puncak bagian atas, ordinat titik pusat kita tambah dengan a = 6, sehingga menjadi

–4 + 6 = 2 maka puncaknya (5, 2)

Untuk menentukan puncak bagian bawah, ordinat titik pusat kita kurangi dengan a = 6, sehingga menjadi

–4 — 6 = –10 maka puncaknya (5, –10)

 

• Koordinat titik fokus f₁(5, 6) dan f₂(5, — 14)

Untuk menentukan fokus bagian atas, ordinat titik pusat kita tambah dengan c = 10, sehingga menjadi

–4 + 10 = 6 maka fokusnya (5, 6)

Untuk menentukan fokus bagian bawah, ordinat titik pusat kita kurangi dengan c = 10, sehingga menjadi

–4 — 10 = –14 maka fokusnya (5, –14)

• Eksentrisitas e = c/a = 10/6 = 5/3
• Panjang latus rectum = 2b²/a = 2.8²/10 = 128/10 = 12,8
• Persamaan asimtot

Cara termudah untuk mencari persamaan asimtot tanpa memakai rumus adalah dengan mengubah bilangan 1 pada persamaan hiperbola dengan 0

Persamaan hiperbola :

Persamaan asimtotnya adalah

64(y + 4)² = 36(x — 5)²

Jika diakarkan maka

8(y + 4) = 6(x — 5)

8(y + 4) = 6(x — 5) atau 8(y + 4) = –6(x — 5)

8y + 32 = 6x — 30 atau 8y + 32 = –6x + 30

6x — 8y — 62 = 0 atay 6x + 8y + 2 = 0

 

Persamaan direktris

Jarak pusat ke direktris adalah

maka persamaan direktrsinya

y = — 4 + 3,6 = — 0,4

dan

y = –4 — 3,6 = — 7,6