Limit Dengan Deret Maclaurin

Untuk menghitung limit trigonometri, akan lebih mudah jika kita menggunakan bantuan deret maclaurin. Menurut deret maclaurin, rumus sinus, cosinus dan tangen bisa dinyatakan dengan

 

Sinus :

Dm sinus

Cosinus :

DM cos

Tangen

DM tan

 

Untuk membuktikan bentuk di atas silakan baca deret maclaurin sinus, deret maclaurin cosinus, dan deret maclaurin tangen.

Selanjutnya akan kita bahas soal-soal limit trigonometri dengan menggunakan deret maclaurin, namun sebelumnya disarankan untuk membaca artikel saya yang berjudul Antara Mendekati Nol Dan Tak Hingga. Pada bagian artikel tersebut dijelaskan bahwa jika x mendekati nol maka perhatikan x yang pangkatnya paling kecil.

Jadi harusnya pada ketiga deret maclaurin di atas jika nilai x mendekati nol maka bisa ditulis suku pertamanya saja.Sehingga

sin x ≈ x

cos x ≈ 1

tan x ≈ x

Jika x kita ganti dengan 2x maka

sin 2x ≈ 2x

cos 2x ≈ 1

tan 2x ≈ 2x

Secara umum jika x kita ganti dengan ax maka

sin ax ≈ ax

cos ax ≈ 1

tan ax ≈ ax

Bagaimana jika adabentuk 1 — cos x ?

untuk bentuk ini kita tidak bisa menganggap cos x ≈ 1. Karena jika cos x ≈ 1 maka bentuk 1 — cos x akan terlihat kehabisan suku. Maka kita harus memilih cos x dengan menggunaka 2 suku, sehingga cos x ≈ 1 — ½x2 .

Sehingga

1 — cos x ≈ 1 — (1 — ½x2) = 1 — 1 + ½x2= ½x2

Bagaimana dengan bentuk tan x – sin x ?

Tentu saja untuk bentuk tan x – sin x kita juga tidak oleh menggunakan satu suku. Masing-masing harus kita gunakan 2 suku

tan x — sin x ≈ x + ⅓ x3 — (x — ⅙ x3)

= x + ⅓ x3 — x + ⅙ x3 = ½ x3

 

Contoh soal 1 :

LTM1

Jawab :

Kita akan menggunakan deret maclaurin cos x

cos x ≈ 1 — ½ x2 + …

Jadi

lTM1A

 

 

 

LTM1B

 

 

 

 

Contoh Soal 2 :

LTM2

Jawab :

Dengan bantuan

sin x ≈ x — ⅙ x3 + …

tan x ≈ x + ⅓ x3 + …

LTM2A

 

 

LTM2B

 

 

 

 

Contoh Soal 3 :

LTM3

Jawab :

Karena cos x ≈ 1 — ½ x2 + …

dan tan x ≈ x + ⅓ x3 + …

maka

LT3A

 

 

 

LT3B

 

 

Contoh Soal 4 :

LT4

Jawab :

Karena cos x ≈ 1 — ½ x2 + …

Maka cos 4x ≈ 1 — ½ (4x)2 + … = 1 — 8x2 + …

Sedangkan sin x ≈ x — ⅙ x3 + …≈ x

Sehingga sin 2x ≈ 2x — ⅙(2x)3 + …≈ 2x

(ketika x mendekati nol, kita bisa memperhatikan pangkat yang kebih rendah)

Akibatnya

LTM4A

 

 

 

LTM4B

 

 

 

 

Contoh Soal 5 :

LTM5

Jawab :

Karena sin x ≈ x — ⅙ x3 + …≈ x

Maka sin 6x ≈ 6x — ⅙(6x)3 + …≈ 6x

Akibatnya

LTM5A

 

 

 

LTM5B

 

 

 

(ketika x mendekati nol, kita bisa memperhatikan pangkat yang kebih rendah)

 

Contoh Soal 6 :

LTM6

Jawab :

Mengingat

sin x ≈ x — ⅙ x3 + …

tan x ≈ x + ⅓ x3 + …

maka

sin 2x ≈ 2x — ⅙ (2x)3 + … = 2x — 4/3 x3 + …

tan 3x ≈ 3x + ⅓ (3x)3 + …= 3x + 9x3 + …

Akibatnya :

LTM6A

LTM6B