Misalkan kita melakukan pembagian, yaitu 84 dibagi 10, maka hasilnya adalah 8, sedangkan sisanya adalah 4.
84 adalah yang dibagi
10 adalah pembagi
8 adalah hasil bagi
4 adalah sisa
Artinya
84 = 10 x 8 + 4
Bentuk ini bisa kita nyatakan sebagai teorema sisa
Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
Sebelum mengerjakan soal-soal suku banyak yang berkaitan dengan teorema sisa ada beberapa hal yang perlu diingat
Jika f(x) : (x — a) maka sisanya adalah f(a)
Jika f(x) : (x + a) maka sisanya adalah f(-a)
Jika f(x) : (ax + b) maka sisanya adalah f(-b/a)
Jika suku banyak f(x) dibagi oleh suku banyak yang berderajat n maka sisanya merupakan suku banyak dengan derajat sebesar-besarnya adalah n — 1
Jadi
Jika f(x) :(ax + b) sisanya pasti konstanta
Jika f(x) :(ax2 + bx + c) sisanya bisa dimisalkan px + q
Jika f(x) :(ax3 + bx2 + cx + d) sisanya bisa dimisalkan px2 + qx + r
Jika f(x) :(ax4 +bx3 +cx2 +dx +e) sisanya bisa dimisalkan px3 +qx2 +rx +s
dan sebagainya
Contoh soal 1 :
Suku banyak f(x) jika dibagi oleh x2 — 7x + 12 sisanya adalah 2x + 7. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x — 4
Jawab :
berdasarkan teorema sisa
yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
Karena hasil bagi tidak ada di soal maka bisa kita misalkan h(x)
f(x) = (x2 — 7x + 12) h(x) + 2x + 7
f(x) = (x – 3)(x – 4) h(x) + 2x + 7
Yang ditanyakan di soal ini adalah jika f(x) dibagi 4 sisanya berapa. Sesuai aturan, sisa yang kita cari adalah f(4) sehingga kita tinggal mensubtitusikan 4 ke dalam f(x)
f(4) = (4 — 3)(4 — 4) + 2.4 + 7 = 0 + 8 + 7 = 15
Jadi sisanya adalah 15
Contoh soal 2 :
Suku banyak f(x) jika dibagi x- 5 sisanya adalah 24, sedangkan jika dibagi x — 7 sisanya adalah 30. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x2 — 12x + 35
Jawab :
f(x) :(x — 5) sisa = 24 ===> f(5) = 24
f(x) : (x — 7) sisa = 30 ===> f(7) = 30
f(x) : (x2 — 12x + 35) sisanya bisa dimisalkan px + q sedangkan hasil bagi bisa dimisalkan k(x)
Sesuai teorema sisa
yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
f(x) =(x2 — 12x + 35) k(x) + px + q
f(x) =(x – 7)(x – 5) k(x) + px + q
dengan mensubtitusikan nilai x = 7 dan x = 5 maka
f(7) = 7p + q = 30
f(5) = 5p + q = 24
. 2p = 6 ==> p = 3
5p + q = 24
15 + q= 24 ==> q = 9
Jadi sisanya adalah
px + q = 3x + 9
Contoh soal 3 :
Suku banyak f(x) jika dibagi 3x- 1 sisanya adalah 10, sedangkan jika dibagi 2x + 3 sisanya adalah -1. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh 6x2 + 7x – 3
Jawab :
f(x):(3x — 1) sisa = 10 ==> f(1/3)= 10
f(x):(2x + 3) sisa = -1 ==> f(-3/2) = -1
f(x) : (6x2 + 7x – 3) sisanya bisa dimisalkan mx + n sedangkan hasil bagi bisa dimisalkan p(x)
Menurut teorema sisa
yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
Jadi
f(x) =(6x2 + 7x – 3)p(x) + mx + n
f(x) =(3x — 1)(2x + 3)p(x) + mx + n
Dengan mensubtitusi x = 1/3 dan x = -3/2 maka
dengan mengurangkan kedua persamaan maka diperoleh :
Jika kedua ruas dikali 6 maka
2m + 9m = 66
11m = 66
m = 6
Kembali ke persamaan pertama :
2 + n = 10
n = 8
Jadi, sisanya adalah
mx + n = 6x + 8
Contoh Soal 4 :
Jika suku banyak f(x) dibagi oleh x — 1, x + 1 dan x — 2 masing-masing sisanya adalah 24, 32 dan 26. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleg x3 – 2x2 – x + 2
Jawab :
f(x) :(x-1) sisa = 24 ===> f(1) =24
f(x) :(x+1) sisa = 32 ===> f(-1) = 32
f(x) :(x-2) sisa = 26 ===> f(2) = 26
Ketika f(x) :(x3 – 2x2 – x + 2) maka sisanya bisa dimisalkan px2 + qx + r sedangkan hasilbagi kita misalkan g(x)
Pembagi bisa kita fakorkan sebagai berikut
x3 – 2x2 – x + 2
= x2(x- 2) – 1.(x — 2)
=(x2 – 1)(x – 2)
=(x + 1)(x — 1)(x — 2)
Sesuai teorema sisa maka
yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
f(x) = (x + 1)(x — 1)(x — 2) g(x) + px2 + qx + r
Dengan mensubtitusikan x = -1, x = 1, dan x = 2 maka
f(-1) = p — q + r =32 ………………(1)
f(1) = p + q + r =24 ………………(2)
f(2) = 4p + 2q + r =26 ……………(3)
Jika persamaan (2) dikurangi persamaan (1) maka
2q = — 8 maka q = -4 ……………..(4)
Jika persamaan (3) dikurangi persamaan (2) maka
3p + q = 2
3p — 4 = 2
3p = 6 maka p = 2 …………………(5)
Kembali ke persamaan (2)
p + q + r =24
2 — 4 + r = 24
r = 26 ……………………………..(6)
Jadi, sisanya adalah
px2 + qx + r = 2x2 – 4x + 26
Contoh Soal 5 :
Suku banyak g(x) dan h(x) jika dibagi oleh x — 9 masing-masing sisanya adalah 25 dan 40. Jika f(x) = g(x)h(x) maka sisa pembagian f(x) oleh x — 9 adalah …
Jawab :
g(x):(x — 9) sisa = 25 ===> g(9) = 25
h(x):(x — 9) sisa = 40 ===> h(9) = 40
diketahui f(x) = g(x)h(x)
maka f(9) = g(9)h(9) = 25.40 = 1.000
Jadi, jika f(x) dibagi oleh x — 9 sisanya adalah 1.000
Contoh Soal 6 :
Suku banyak p(x) jika dibagi oleh x2 – 5x sisanya adalah 2x + 6. Suku banyak q(x) jika dibagi x2 – 9x + 20 sisanya adalah 3x + 5. Jika g(x) = p(x) + q(x) maka sisa pembagian g(x) oleh x — 5 adalah ….
Jawab :
p(x) :(x2 – 5x) sisa = 2x + 6
q(x) :(x2 – 9x + 20) sisa = 3x + 5
Berdasarkan teorema sisa
yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
p(x) =(x2 – 5x)h(x)+ 2x + 6
q(x) =(x2 – 9x + 20)k(x)+ 3x + 5
maka
p(5) = (25 — 25) h(5) + 10 + 6 = 0 + 16 = 16
q(5) = (25 — 45 + 20) k(5) + 15 + 5 = 0 + 20 = 20
Dari soal diketahui g(x) = p(x) + q(x)
sehingga
g(5) = p(5) + q(5) = 16 + 20 = 36
Jadi, ketika g(x) dibagi (x — 5) sisanya adalah 36
Contoh Soal 7 :
Suku banyak u(x) jika dibagi x — 1 dan x — 5 sisanya adalah 4 dan 8. Suku banyak v(x) jika dibagi x — 1 dan x — 5 sisanya 7 dan 5. Tentukan sisanya jika f(x) = u(x)v(x) dibagi oleh x2 – 6x + 5.
Jawab :
u(x) : (x — 1) sisa = 4 ===> u(1) =4
u(x) : (x — 5) sisa = 8 ===> u(5) =8
v(x) : (x — 1) sisa = 7 ===> v(1) =7
v(x) : (x — 5) sisa = 5 ===> v(5) =5
f(x) = u(x)v(x)
f(1) = u(1)v(1) =4.7 = 28
f(5) = u(5)v(5) = 8.5 = 40
Pertanyaan
Jika f(x) dibagi oleh x2 – 6x + 5 maka sisanya = ?
Misalkan sisa = mx + n
Menurut teorema sisa
yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
f(x) = (x2 – 6x + 5) h(x) + mx + n
f(x) = (x – 5)(x — 1) h(x) + mx + n
f(5) = 5m + n = 40
f(1) = m + n = 28
. 4m = 12 maka m = 3
m + n = 28
3 + n = 28
n = 25
Jadi jika f(x) dibagi oleh x2 – 6x + 5 sisanya 3x + 25
Contoh Soal 8 :
Suku banyak g(x) dan h(x) jika dibagi oleh x2 – x – 6 sisanya adalah x + 3 dan 2x — 1. Tentukan sisanya jika f(x)=g(x)h(x) dibagi oleh x2 – x – 6
Jawab :
Pembagi = x2 – x – 6 = (x — 3)(x + 2)
g(x):(x — 3)(x + 2) sisa = x + 3
h(x):(x — 3)(x + 2) sisa = 2x — 1
dengan teorema sisa
yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
g(x)=(x — 3)(x + 2)k(x) + x + 3
h(x)=(x — 3)(x + 2)m(x) + 2x — 1
sehingga diperoleh
g(3) = 6 dan g(-2) = 1
h(3) = 5 dan h(-2) = -5
Karena f(x) = g(x)h(x) maka
f(3) = g(3) h(3) = 6.5 = 30
f(-2) = g(-2) h(-2) = 1.(-5) = -5
misal jika f(x) dibagi x2 – x – 6 sisanya ax + b sehingga
f(x) = (x — 3)(x + 2)r(x) + ax + b
f(3) = 3a + b = 30
f(-2) = -2a + b =-5
. 5a = 35 ===> a = 7
3a + b = 30
21 + b = 30 ===> b = 9
Jadi, sisanya = 7x + 9