Super Matematika

Persamaan Garis Singgung Lingkaran jika diketahui gradiennya

Contoh 1 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 40 dengan gradien 3

 

Jawab :

m = 3 , R² = 40 maka R =√40

Jadi

y = mx ± R√(1 + m²)

y = 3x ±√40√(1 + 3²)

y = 3x ±√40√10

y = 3x ±√400

y = 3x ± 20

y = 3x + 20 atau y = 3x — 20

 

Contoh 2

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x — 2)² + (y + 3)² = 125 dengan gradien 2

 

Jawab :

m = 1 , R² = 125 maka R =5√5

Jadi

y + 3 = m(x — 2) ± R√(1 + m²)

y + 3 = 2(x — 2) ±5√5√(1 + 2²)

y + 3 = 2x — 4 ±5√5√5

y = 2x — 7 ± 25

y = 2x — 7 + 25 atau y = 2x — 7 — 25

y = 2x + 18 atau y = 2x — 32

 

Contoh 3 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 50 yang membentuk sudut 45^o dengan sumbu x positif

 

Jawab :

m = tan 45^o = 1 , R² = 50 maka R =√50

Jadi

y = mx ± R√(1 + m²)

y = x ±√50√(1 + 1²)

y = x ±√50√2

y = x ±√100

y = x ± 10

y = x + 10 atau y = x — 10

Secara umum persamaan kuadrat dinyatakan dengan

ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0

Jika kedua ruas dibagi dengan a maka diperoleh

Kedua ruas kita tambah dengan (b/2a)² sehingga

 

sehingga

Bentuk terakhir ini dikenal dengan nama rumus ABC

Selanjutnya nilai b² — 4ac disebut diskriminan, yang disingkat D. Dengan demikian rumus ABC bisa ditulis menjadi

maka

 

Contoh 1

Jika α dan β akar-akar persamaan x² — 5x + 3 = 0, tentukan nilai dari

a. α² + β²

b. (α — β)²

c. α³ + β³

Jawab

α + β = -b/a = 5 αβ = c/a = 3

a. (α+ β)² = α² + 2αβ + β²

. sehingga α² + β² = (α+ β)² — 2αβ

. = 25 — 6 = 19

 

b. (α — β)² = α² + β² -2αβ = 19 — 6 = 13

c. (α + β)³ = α³ + 3α²β + 3αβ² + β³

. (α + β)³ = α³ + 3αβ(α + β) + β³

. α³ + β³ = (α + β)³ — 3αβ(α + β)

. = 5³  — 3.3.5 = 125 — 45 = 80

 

Penggunaan Diskriminan

D ≥ 0 → Persamaan kuadrat memiliki 2 akar real

D > 0 → Persamaan kuadrat memiliki 2 akar real berbeda

D = 0 → Persamaan kuadrat memiliki 2 akar real kembar

D < 0 → Persamaan kuadrat tidak memiliki akar real

 

Contoh 2 :

Tentukan nilai m agar persamaan x² — (m — 5)x + m + 10 = 0 memiliki akar kembar

 

Jawab :

Syarat akar kembar : D = 0

b² — 4ac = 0

(m — 5)²  — 4.1.(m + 10) = 0

m² — 10m + 25 — 4m — 40 = 0

m² — 14m — 15 = 0

(m — 15)(m + 1) = 0

m = 15 atau m = -1

 

Contoh 3

Tentukan nilai p agar persamaan x² — 8x + 3 — p = 0 memiliki 2 akar real berbeda

 

Jawab

2 akar real berbeda : D > 0

b² — 4ac > 0

64 — 4.1.(3 — p) > 0

64 — 12 + 4p > 0

4p > -52

p > — 13

 

 

akar akar berlainan tanda

akar akar positif persamaan kuadrat

akar akar negatif persamaan kuadrat

akar akar rasional persamaan kuadrat

akar akar saling berkebalikan

akar akar saling berlawanan

penyelesaian persamaan kuadrat

rumus abc persamaan kuadrat

soal dan pembahasan persamaan kuadrat

akar akar persamaan kuadrat

akar akar persamaan kuadrat berpangkat tinggi

akar akar persekutuan