Jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki akar-akar negatif maka
x1 < 0 dan x2 < 0
Akibatnya
x1 + x2 < 0
x1 x2 >0
Karena bilangan negatif juga bilangan real maka pada kondisi akar-akar negatif persamaan kuadrat memiliki ciri-ciri
Jadi, persyaratan akar-akar negatif adalah
x1 + x2 < 0
x1 x2 >0
Contoh Soal 1
Agar persamaan x2 + (m — 3)x + m + 5 = 0 memiliki akar-akar negatif maka nilai m adalah
Jawab :
x1 < 0 dan x2 < 0
x1 + x2 < 0 x1 x2 >0
– m + 3 < 0 m + 5 > 0
-m < -3 m > -5 …………………………(2)
m > 3 ………………………….(1)
b2 — 4ac ≥ 0
(m — 3)2 — 4.1.(m + 5) ≥ 0
m2 — 6m + 9 — 4m — 20 ≥ 0
m2 — 10m — 11 ≥ 0
(m — 11)(m + 1) ≥ 0
m ≤ — 1 atau m ≥ 11 ……………………………(3)
Jika (1), (2), dan (3) diiriskan diperoleh
m ≥ 11
Contoh soal 2 :
Tentukan nilai p persamaan x2 — (p -5)x + p — 2 = 0 memiliki akar-akar negatif
Jawab :
x1 < 0 dan x2 < 0
x1 + x2 < 0 x1 x2 >0
p — 5 < 0 p — 2 > 0
p < 5 ………………….(1) p > 2 …………………….. (2)
Syarat berikutnya adalah
b2 — 4ac ≥ 0
(p — 5)2 — 4.1.(p — 2) ≥ 0
p2 — 10p + 25 — 4p + 8 ≥ 0
p2 — 14p + 33 ≥ 0
(p — 3)(p — 11) ≥ 0
p ≤ 3 atau p ≥ 11 …………………………….(3)
Dari (1), (2), dan (3) diperoleh
2 < p ≤ 3
Jika akar-akar negatif berlainan (berbeda) maka syaratnya ada 3, yaitu :
x1 + x2 < 0
x1 x2 > 0
D > 0
Contoh soal 3 :
Batas-batas nilai t sehingga persamaan x2 — (t -5)x + t + 10 = 0 memiliki akar-akar negatif berbeda adalah …
Jawab :
x1 + x2 < 0 x1 x2 > 0
t — 5 < 0 t + 10 > 0
t < 5 ………..(1) t > -10 ………………(2)
D > 0
b2 — 4ac > 0
(t — 5)2 — 4.1.(t + 10) > 0
t2 — 10t + 25 — 4t — 40 > 0
t2 — 14t — 15 > 0
(t — 15)(t + 1) > 0
t < -1 atau t > 15 …………………….(3)
dari (1), (2), dan (3) diperoleh
-10 < t < -1
Artikel lain :
akar akar positif persamaan kuadrat
akar akar rasional persamaan kuadrat
penyelesaian persamaan kuadrat
persamaan kuadrat matematika sma
soal dan pembahasan persamaan kuadrat