Super Matematika

Parsial berarti bagian, jadi integral parsial adalah integral yang kita kerjakan sebagian demi sebagian

y = uv

y’ = u’v + uv’

dy/dx = (du/dx)v + u (dv/dx)

dy = vdu + udv

∫dy = ∫vdu + ∫udv

y = ∫vdu + ∫udv

uv = ∫vdu + ∫udv

∫udv = uv — ∫vdu

 

Contoh 1 :

∫x cos x dx = …

Jawab :

u = x → du = dx

dv = cos x dx → v = sin x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x cos x dx =x sin x -∫sin x dx

∫x cos x dx =x sin x + cos x + c

 

Contoh 2 :

∫x² sin x dx = …

Jawab :

u = x² → du = 2x dx

dv = sin x dx → v = -cos x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x² sin x dx = x² (-cos x) — ∫- cos x . 2x dx

∫x² sin x dx = -x² cos x + 2∫x cos x dx

dengan menggunakan hasil contoh 1 maka diperoleh

∫x² sin x dx = -x² cos x + 2(x sin x + cos x) + c

∫x² sin x dx = -x² cos x + 2x sin x + 2cos x + c

 

Contoh 3 :

∫x³ cos x dx = …

Jawab :

u = x³ → du = 3x² dx

dv = cos x dx → v = sin x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x³ cos x dx = x³ sin x — ∫sin x . 3x² dx

∫x³ cos x dx = x³ sin x — 3∫x² sin x dx

dengan menggunakan hasil contoh 2 maka diperoleh

∫x³ cos x dx = x³ sin x — 3(-x² cos x + 2x sin x + 2cos x) + c

∫x³ cos x dx = x³ sin x + 3x² cos x — 6x sin x — 6cos x + c

 

Contoh 4 :

∫x³ sin x dx = …

Jawab :

u = x³ → du = 3x² dx

dv = sin x dx → v = -cos x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x³ sin x dx = x³ (-cos x) — ∫(-cosx) 3x² dx

∫x³ sin x dx = -x³ cos x + 3∫ x² cosx dx ……………………..(1)

Bagian terakhir harus kita hitung dengan parsial lagi

u = x² → du = 2x dx

dv = cos x dx → v = sin x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x² cos x dx = x² sin x — ∫sin x . 2x dx

∫x² cos x dx = x² sin x — 2∫x sin x dx ……………………….(2)

Bagian terakhir harus kita hitung dengan parsial lagi

u = x → du = dx

dv = sin x dx → v = -cos x

∫udv = uv — ∫vdu

∫x sin x dx =x (-cos x) -∫-cos x dx

∫x sin x dx = -xcos x +∫cos x dx …………………………….(3)

Persamaan (3) kita substitusikan ke persamaan (2) sehingga diperoleh

∫x² cos x dx = x² sin x — 2(-xcos x +∫cos x dx)

∫x² cos x dx = x² sin x + 2x cos x + 2∫cos x dx

Hasil terakhir ini kita substitusikan ke persamaan (3) sehingga diperoleh

∫x³ sin x dx = -x³ cos x + 3(x² sin x + 2x cos x + 2∫cos x dx)

∫x³ sin x dx = -x³ cos x + 3x² sin x + 6x cos x + 6∫cos x dx

∫x³ sin x dx = -x³ cos x + 3x² sin x + 6x cos x + 6sin x + c

Soal-Soal Dimensi Tiga

1. Kubus ABCDEFGH memiliki rusuk 12 cm. Jarak titik C ke BDG sama dengan …

. (A) 3√3 cm

. (B) 3√6 cm

. (C) 4√3 cm

. (D) 4√6 cm

. (E) 6√2 cm

 

2. Tinggi bidang empat beraturan yang panjang rusuknya 9 cm adalah …

. (A) 3√3 cm

. (B) 3√6 cm

. (C) 4√3 cm

. (D) 4√6 cm

. (E) 5√2 cm

 

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. P adalah titik pada perpanjangan AE sehingga PE = 0,5a. Jika bidang PBD memotong bidang atas EFGH sepanjang QR, maka QR =

. (A) a/3

. (B) a/2

. (C) (a/3)√2

. (D) (a/2)√2

. (E) (2a/3)√2

 

4. Diketahui kubus ABCD.EFGH. P titik tengah HG, M titik tengah DC, N titik tengah BC dan S titik tengah MN. Perbandingan luas D APS dengan luas proyeksi D APS ke bidang ABCD adalah

. (A) 2 : 1

. (B) 1 : 2

. (C) 2 : 3

. (D) 3 : 1

. (E) 3 : 2

 

5. Diketahui ABCD sebuah segi empat. Segitiga TAB sama kaki dengan alas AB. Segitiga TAB tegak lurus ABCD. Jika AB=12 , AD = 7 , dan TD = 25 maka jarak T ke bidang ABCD adalah …

. (A) 0,5√2111

. (B) 6√15

. (C) 15√6

. (D) 17

. (E) √612

 

6. Rusuk TA dari bidang empat T.ABC tegak lurus pada alas. TA dan BC masing-masing 8 cm dan 6 cm. Jika P titik tengah TB, Q titik tengah TC dan R titik tengah AB, dan bidang yang melalui ketiga titik P, Q, dan R memotong rusuk AC di S, maka luas PQRS adalah …

. (A) 24 cm²

 

. (B) 20 cm²

. (C) 18 cm²

. (D) 16 cm²

. (E) 12 cm²

 

7. Garis g tegak lurus bidang v dan bidang w membentuk sudut lancip dengan bidang v. Jika w memotong v menurut suatu garis s, maka proyeksi g pada w …

. (A) Tegak lurus pada v

. (B) Tegak lurus pada s

. (C) Bersilang tegak lurus dengan g

. (D) Sejajar dengan v

. (E) Sejajar dengan s

 

8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika titik P pada CG dan Q pada DH dan CP = DQ = 1 cm, maka bidang PQEF mengiris kubus tersebut menjadi dua bagian. Volume bagian yang lebih besar adalah

. (A) 36 cm³

. (B) 38 cm³

. (C) 40 cm³

. (D) 42 cm³

. (E) 44 cm³

 

9. Sebuah piramida tegak T.ABCD mempunyai alas bujursangkar ABCD dengan luas 100 cm² dan panjang rusuk tegaknya 13 cm. Jika x adalah sudut antara bidang TAB dan bidang TCD maka sin 0,5x = …

. (A) 1/2

. (B) 5/12

. (C) 5/13

. (D) 6/13

. (E) 5/√119