Super Pakar Matematika

Integral Trigonometri

Integral trigonometri merupakan integral yang menggunakan fungsi-fungsi trigonometri

Berikut ini adalah rumus-rumus integral trigonometri

∫ cos x dx = sin x + c

∫ sin x dx = -cos x + c

∫ sec² x = tan x + c

∫ csc² x = -cot x + c

∫sec x tan x = sec x + c

∫ csc x cot x = — csc x + c

Selanjutnya rumus-rumus yang ada bisa diperluas menjadi

∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c

∫ sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c

∫ sec² (ax + b) = 1/a tan (ax + b) + c

∫ csc² (ax + b) = — 1/a cot (ax + b) + c

∫sec (ax + b) tan (ax + b) = 1/a sec (ax + b) + c

∫ csc (ax + b) cot (ax + b) = — 1/a csc (ax + b) + c

Biar lebih mudah langsung ke contoh soal saja ya

Contoh 1

∫(cos 7x + sin 5x) dx = ….

Jawab :

∫(cos 7x + sin 5x) dx = 1/7 cos 7x — 1/5 cos 5x + c

Contoh 2 :

∫(x — 1) sin (x² — 2x + 5) dx = …

Jawab :

misal

y = x² — 2x + 5

dy/dx = 2x — 2

dx = dy/(2x — 2) = 1/2 dy/(x — 1)

Jadi,

∫(x — 1) sin (x² — 2x + 5) dx

= ∫(x — 1) sin y 1/2 dy/ (x -1)

= ∫ 1/2 sin y dy

= — 1/2 cos y + c

= — 1/2 cos (x² — 2x + 5) + c

Contoh 3 :

∫ (x² — 4x) cos (x³ — 6x² + 7) dx = …

Jawab :

misal y = x³ — 6x² + 7

maka dy/dx = 3x² — 12x

sehingga dx = dy/(3x² — 12x)

atau dx = 1/3 dy/(x² — 4x)

Jadi

∫ (x² — 4x) cos (x³ — 6x² + 7) dx

= ∫ (x² — 4x) cos y 1/3 dy/(x² — 4x)

= 1/3 ∫ cos y dy

= 1/3 sin y + c

= 1/3 sin (x³ — 6x² + 7) + c

Sebelum kita lanjutan ke contoh berikutnya, ungat baik-baik rumus-rumus trigonometri berikut

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A — B)

2 cos A sin B = sin (A + B) — sin (A — B)

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A — B)

-2 sin A sin B = cos (A + B) — cos (A — B)

Contoh 4 :

∫ 2 cos 7x cos 2x dx = ….

Jawab :

∫ 2 cos 7x cos 2x dx

= ∫ cos 9x + cos 5x dx

= 1/9 sin 9x + 1/5 sin 5x + c

Contoh 5

∫ sin 5x cos 3x dx = …

Jawab :

∫ sin 5x cos 3x dx

= 1/2 ∫ (sin 8x + sin 2x) dx

= 1/2 ( — 1/8 cos 8x — 1/2 cos 2x) + c

= — 1/16 cos 8x — 1/4 cos 2x + c

Contoh 6 :

∫ sin 6x sin 3x dx = …

Jawab :

∫ sin 6x sin x dx

= — 1/2 ∫ (cos 7x — cos 5x) dx

= — 1/2 ( 1/7 sin 7x — 1/5 sin 5x) + c

= — 1/14 sin 7x + 1/10 sin 5x + c

Ingat juga rumus-rumus berikut

sin² x = 1/2 — 1/2 cos 2x

cos² x = 1/2 + 1/2 cos 2x

Contoh 7 :

∫ cos² x dx = …

Jawab :

∫ cos² x dx

= ∫ ( 1/2 + 1/2 cos 2x) dx

= 1/2 x + 1/4 sin 2x + c

Contoh 8 :

∫sin² x dx = …

Jawab :

∫sin² x dx

= ∫ ( 1/2 — 1/2 cos 2x) dx

= 1/2 x — 1/4 sin 2x + c

Contoh 9 :

∫ cos² 3x dx

Jawab :

∫ cos² 3x dx

= ∫ ( 1/2 + 1/2 cos 6x) dx

= 1/2 x + 1/14 sin 2x + c

Contoh 10 :

∫sin² 7x dx

Jawab :

∫ sin² 7x dx

= ∫ ( 1/2 — 1/2 cos 14x) dx

= 1/2 x + 1/28 sin 14x + c

Contoh 11 :

∫ cos⁴ x dx

Jawab :

∫ cos⁴ x dx

=∫ (cos² x)² dx

= ∫ (1/2 + 1/2 cos 2x)² dx

= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/4 cos² 2x) dx

= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/4 (1/2 + 1/2 cos 4x)) dx

= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/8 + 1/8 cos 4x) dx

= ∫ (3/8 + 1/2 cos 2x + 1/8 cos 4x) dx

= 3/8 x + 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x + c

Contoh 12 :

∫sin⁴ x dx = …

Jawab :

∫sin⁴ x dx

=∫ (sin² x)² dx

= ∫ (1/2 — 1/2 cos 2x)² dx

= ∫ (1/4 — 1/2 cos 2x + 1/4 cos² 2x) dx

= ∫ (1/4 — 1/2 cos 2x + 1/4 (1/2 + 1/2 cos 4x)) dx

= ∫ (1/4 — 1/2 cos 2x + 1/8 + 1/8 cos 4x) dx

= ∫ (3/8 — 1/2 cos 2x + 1/8 cos 4x) dx

= 3/8 x — 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x + c

Category: Integral

Integral tertentu merupakan integral yang memiliki batas. Batas-batas yang diberikan biasanya berupa konstanta. Akan tetapi tidak menutup kemungkinan batas-batas itu berupa variabel juga. Setelah berhasil mengintegralkan batas tadi kita substitusikan. Pertama kita substitusikan batas atas ke dalam fungsi hasil integral, kemudian dikurangi hasil substitusi batas bawah pada fungsi hasil integral.