Super Matematika

Bentuk-bentuk persamaan eksponen

1. a^f(x)=a^g(x)

maka f(x) = g(x)

 

2. f(x)^g(x) = 1

maka ada 3 kemungkinan penyelesaian

I. f(x) = 1

II. g(x) = 0

syarat f(x) ≠ 0

 

3. f(x)^g(x)= h(x)^g(x)

makaada 3 kemungkinan penyelesaian

I. f(x) = h(x)

II. g(x) = 0

syarat f(x) ≠ 0 dan h(x) ≠ 0

III. f(x) = -h(x)

syarat g(x) genap

 

 

4. f(x)^g(x)= f(x)^h(x)

maka ada 4 kemungkinan penyelesaian

I. g(x)=h(x)

II. f(x) = 1

III. f(x) = 0

syarat g(x) > 0 dan h(x) > 0

IV. f(x) = -1

syarat : g(x) dan h(x) harus sama-sama genap atau sama-sama ganjil

 

Contoh 1

1. 9^2x+1 = 27^x+5

Jawab :

(3²)^2x+1 = (3³)^x+5
3^4x+2 = 3^3x+15

4x+2= 3x + 15

x = 13

 

Contoh 2

(x-5)^2x-20=1

Jawab :

Kemungkinan I

x — 5 = 1 maka x = 1

 

Kemungkinan II

2x — 20 = 0

2x = 20

x = 10

Syarat x — 5 ≠0

10 — 5 ≠ 0 (benar)

Jadi x = 10 memenuhi

 

Kemungkinan 3

x-5 = -1

x = 4

Syarat

2x — 20 = genap

2.4 — 20 = genap

8 — 20 = genap

-12 = genap (benar)

Jadi, x = 4 memenuhi

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {1, 4, 10}

 

Contoh 3 :

(x-7)^x-3 = 1

Jawab :

Kemungkinan I

x — 7 = 1

x = 8

 

Kemunkinan II

x — 3 = 0

x = 3

Syarat x — 7 ≠0

3-7 ≠0 (benar)

Jadi, x = 3 memenuhi

 

Kemunkinan III

x — 7 = -1

x = 6

Syarat x — 3 = genap

6 — 3 = genap (salah)

Jadi, x = 6 tidak memenuhi

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {3, 8}

 

Contoh 4 :

(x-2)^x2-x-2=1

Jawab :

Kemungkinan I

x — 2 = 1

x = 3

 

Kemungkinan II

x²-x-2=0

(x +1)(x-2)=0

x=-1 atau x = 2

syarat x — 2≠0

Untuk x = -1 maka -1-2≠0 (benar), jadi x = -1 memenuhi

Untuk x = 2 maka 2-2≠0 (salah), jadi x = 2 tidak memenuhi

 

Kemungkinan III

x-2 = -1

x = 1

syarat : x²-x-2=genap

1²-1-2=genap

-2 = genap (benar)

Jadi x = 1 memenuhi

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah (-1, 1, 3)

 

Contoh 5 :

(2x-1)^x-3=(x+7)^x-3

Jawab

Kemungkinan I

2x-1 = x+7

x = 8

Kemungkinan II

x — 3 = 0

x = 3

syarat :

2x — 1 ≠ 0 x+7 ≠ 0

2.3 — 1 ≠ 0 3+7 ≠ 0

5 ≠ 0 10 ≠ 0

Jadi x = 3 memenuhi

Kemungkinan III

2x — 1 = -(x + 7)

2x — 1 = -x — 7

3x = -6

x=-2

Syarat :

x — 3 = genap

-2 — 3 = genap (salah)

Jadi x = 2 tidak memenuhi

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {3, 8}

 

Contoh 6 :

(x-1)^x-2=(x-1)^2x-11

Jawab :

Kemungkinan I

x — 2 = 2x — 11

– 3x = -9

x=3

 

Kemungkinan II

x-1 =1

x=2

 

Kemungkinan III

x-1 = 0

x = 1

x -2 = 1-2 =-1 (negatif)

2x -11 = 2-11=-9 (negatif)

karena kedua pangkat negatif maka x=1 tidak memenuhi

 

Kemungkinan IV

x-1 =-1

x=0

x-2 = 0 -2 = genap

2x — 11 = 0 — 11 = ganjil

karena salah satu pangkat genap dan yang lainnya ganjil maka x=0 tidak memenuhi

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

Berikut ini kami sajikan rumus-rumus integral

1. ∫ dx = x + c

2. ∫ a dx = ax + c

3. n ≠ -1

4.

5. ∫ cos x dx = sin x + c

6. ∫ sin x dx = -cos x + c

7. ∫ sec² x = tan x + c

8. ∫ csc² x = -cot x + c

9. ∫sec x tan x = sec x + c

10. ∫ csc x cot x = — csc x + c

11. ∫ e^x dx = e^x +c

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22. ∫tan x dx = — ln |cos x| + c

23. ∫cot x dx = ln |sin x | + c

24. ∫sec x dx = ln |sec x + tan x| + c

25. ∫csc x dx = -ln |csc x + cot x| + c

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34. ∫ ln x dx = x ln x — x + c

35.

36.

37.

38.

39.

40.