Parsial berarti bagian, jadi integral parsial adalah integral yang kita kerjakan sebagian demi sebagian
y = uv
y’ = u’v + uv’
dy/dx = (du/dx)v + u (dv/dx)
dy = vdu + udv
∫dy = ∫vdu + ∫udv
y = ∫vdu + ∫udv
uv = ∫vdu + ∫udv
∫udv = uv — ∫vdu
Contoh 1 :
∫x cos x dx = …
Jawab :
u = x → du = dx
dv = cos x dx → v = sin x
∫udv = uv — ∫vdu
∫x cos x dx =x sin x -∫sin x dx
∫x cos x dx =x sin x + cos x + c
Contoh 2 :
∫x2 sin x dx = …
Jawab :
u = x2 → du = 2x dx
dv = sin x dx → v = -cos x
∫udv = uv — ∫vdu
∫x2 sin x dx = x2 (-cos x) — ∫- cos x . 2x dx
∫x2 sin x dx = -x2 cos x + 2∫x cos x dx
dengan menggunakan hasil contoh 1 maka diperoleh
∫x2 sin x dx = -x2 cos x + 2(x sin x + cos x) + c
∫x2 sin x dx = -x2 cos x + 2x sin x + 2cos x + c
Contoh 3 :
∫x3 cos x dx = …
Jawab :
u = x3 → du = 3x2 dx
dv = cos x dx → v = sin x
∫udv = uv — ∫vdu
∫x3 cos x dx = x3 sin x — ∫sin x . 3x2 dx
∫x3 cos x dx = x3 sin x — 3∫x2 sin x dx
dengan menggunakan hasil contoh 2 maka diperoleh
∫x3 cos x dx = x3 sin x — 3(-x2 cos x + 2x sin x + 2cos x) + c
∫x3 cos x dx = x3 sin x + 3x2 cos x — 6x sin x — 6cos x + c
Contoh 4 :
∫x3 sin x dx = …
Jawab :
u = x3 → du = 3x2 dx
dv = sin x dx → v = -cos x
∫udv = uv — ∫vdu
∫x3 sin x dx = x3 (-cos x) — ∫(-cosx) 3x2 dx
∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3∫ x2 cosx dx ……………………..(1)
Bagian terakhir harus kita hitung dengan parsial lagi
u = x2 → du = 2x dx
dv = cos x dx → v = sin x
∫udv = uv — ∫vdu
∫x2 cos x dx = x2 sin x — ∫sin x . 2x dx
∫x2 cos x dx = x2 sin x — 2∫x sin x dx ……………………….(2)
Bagian terakhir harus kita hitung dengan parsial lagi
u = x → du = dx
dv = sin x dx → v = -cos x
∫udv = uv — ∫vdu
∫x sin x dx =x (-cos x) -∫-cos x dx
∫x sin x dx = -xcos x +∫cos x dx …………………………….(3)
Persamaan (3) kita substitusikan ke persamaan (2) sehingga diperoleh
∫x2 cos x dx = x2 sin x — 2(-xcos x +∫cos x dx)
∫x2 cos x dx = x2 sin x + 2x cos x + 2∫cos x dx
Hasil terakhir ini kita substitusikan ke persamaan (3) sehingga diperoleh
∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3(x2 sin x + 2x cos x + 2∫cos x dx)
∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x + 6∫cos x dx
∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x + 6sin x + c