Istilah akar-akar persekutuan sama artinya dengan akar-akar berserikat atau akar-akar yang sama. Akar yang sama di sini tidak disebut akar kembar, karena melibatkan dua persamaan kuadrat.
Misalnya :
- Persamaan x2 — 5x + 6 = 0 dan x2 — 2x — 3 = 0 memiliki sebuah akar persekutuan yaitu x= 3
- Persamaan x2 — 7x + 12 =0 dan 2x2 — 14x + 24 = 0 memiliki dua buah akar persekutuan, yaitu x=3 dan x = 4
Persamaan kuadrat memiliki 2 akar. Jika dua atau lebih persamaan kuadrat yang memiliki dua akar persekutuan, berarti persamaan-persamaan tersebut adalah persamaan yang sama. Atau bisa dikatakan salah satu persamaan adalah kelipatan persamaan yang lain.
Contoh soal 1
Agar persamaan x2 + nx — 6 = 0 dan 5x2 +10x + m + 3 = 0 memiliki dua akar persekutuan maka nilai m + n = …
Jawab :
kita lihat koefisien x2. Supaya kedua koefisien sama maka persamaan pertama dikali 5
5x2 + 5nx — 30 = 0
5x2 +10x + m + 3 = 0
maka
5n = 10 → n = 2
m + 3 = -30 → m = -33
m + n = -31
Contoh soal 2
Persamaan 2x2 + 8x — 2m = 0 dan mx2 + 12x — k — 4 = 0 memiliki 2 akar berserikat. Nilai k yang memenuhi adalah ….
Jawab :
Perhatikan koefisien x. Agar sama maka persamaan pertama dikali 3 dan persamaan kedua dikali dengan 2, sehingga
6x2 + 24x — 6m = 0
2mx2 + 24x — 2k — 8 = 0
2m = 6 maka m = 3
-2k — 8 = -6m
-2k — 8 = -18
-2k = -10
k = 5
Contoh Soal 3
Persamaan x2 -3x — 4 = 0 dan x2 — 4x -p + 3 = 0 memiliki sebuah akar persekutuan. Nilai p sama dengan …
Jawab :
Persamaan pertama sangat mudah untuk dicari akarnya
x2 -3x — 4 = 0
(x — 4)(x + 1) = 0
x = 4 atau x = -1
Karena akar persekutuan hanya sebuah, maka kita tidak tahu akar yang mana yang menjadi akar persekutuan
Jika x = 4 merupakan akar persekutuan berarti bisa disubtitusikan ke persamaan x2 — 4x -p + 3 = 0, sehingga
42 — 4.4 -p + 3 = 0
16 -16 — p + 3 = 0
p = 3
Jika x = -1 merupakan akar persekutuan berarti bisa disubtitusikan ke persamaan x2 — 4x -p + 3 = 0, sehingga
(-1)2 — 4(-1) -p + 3 = 0
1 + 4 — p + 3 = 0
p = 8
Jadi, p = 3 atau p = 8
Cara lain :
Perhatikan bahwa jika kita mengeliminasi 2 persamaan kuadrat yang memiliki sebuah akar persekutuan maka akan diperoleh akar persekutuan berikut
midalnya kita eliminasi x2 — 5x + 6 = 0 dan x2 — 2x — 3 = 0
x2 — 5x + 6 = 0
x2 — 2x — 3 = 0 _
-3x + 9 = 0
x = 3
Nilai x = 3 inilah akar persekutuannya
Sekarang kita kembali ke contoh soal 3
x2 — 3x — 4 = 0
x2 — 4x — p + 3 = 0 _
x + p — 7 = 0
x = -P + 7
selanjutnya nilai x ini kita substitusikan ke salah satu persamaan
x2 -3x — 4 = 0
(-p+7)2 -3(-p+7) — 4 = 0
p2 — 14p + 49 + 3p — 21 — 4 = 0
p2 -11p + 24 = 0
(p -3)(p-8) = 0
p = 3 atau p = 8
Contoh Soal 4
Jika persamaan x2 — 5x + 2p = 0 dan x2 — 7x + p + 10 = 0 persamaan memiliki satu akar persekutuan maka nilai m adalah
Jawab :
Karena tidak ada akar yang bisa dicari maka kita langsung memakai cara kedua, yaitu eliminasi
x2 — 5x + 2p = 0
x2 — 7x + p + 10 = 0
2x + p — 10 = 0
2x = -p + 10
sekarang nilai x ini kita substitusikan ke persamaan x2 — 5x + 2p = 0
Jika kedua ruas dikali 4 maka diperoleh
p2 — 20p + 100 + 10p — 100 + 8p = 0
p2 — 2p = 0
p(p — 2)=0
p = 0 atau p = 2
Contoh Soal 5
Tentukan nilai h agar bentuk
bisa disederhanakan
Jawab :
Bisa disederhanakan pembilang dan penyebut memiliki satu faktor yang sama. Ini artinya sama saja x2 — 7x + 3h = 0 dan x2 — 8x + h + 11 = 0 memiliki sebuah akar persekutuan. Supaya lebih mudah langsung kita eliminasi saja
x2 — 7x + 3h = 0
x2 — 8x + h + 11 = 0 _
x + 2h — 11 = 0
x = -2h + 11
x2 — 7x + 3h = 0
(-2h+11)2 — 7(-2h + 11) + 3h = 0
4h2 — 44h + 121 + 14h — 77 + 3h = 0
4h2 — 27h + 44 = 0
(h — 4)(4h — 11) = 0
h = 4 atau h = 11/4
akar akar persamaan kuadrat berpangkat tinggi
penyelesaian persamaan kuadrat
persamaan kuadrat matematika sma
soal dan pembahasan persamaan kuadrat
akar akar negatif persamaan kuadrat
akar akar positif persamaan kuadrat
akar akar rasional persamaan kuadrat