Misalkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Jika akar-akarnya positif maka
x1 > 0 dan x2 > 0
sehingga
x1 + x2 > 0 dan x1 . x2 > 0
Karena bilangan positif juga termasuk bilangan real maka pada persamaan ini juga berlaku
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut :
Contoh soal 1 :
Tentukan nilai k agar persamaan x2 + (k — 2)x + k + 6 = 0 memiliki akar-akar positif
Jawab :
x1 + x2 > 0 x1 . x2 > 0
-k + 2 > 0 k + 6 > 0
-k > -2 k > -6 ……………..(2)
k < 2 …………………….(1)
b2 — 4ac ≥0
(k — 2)2 — 4.1.(k + 6) ≥ 0
k2 — 4k + 4 — 4k — 24 ≥ 0
k2 — 8k — 20 ≥ 0
(k — 10)(k + 2) ≥ 0
k ≤ — 2 atau k ≥ 10 …………………(3)
Dari (1), (2), dan (3) bisa disimpulkan
-6 < k ≤ — 2
=====================================================
Jika persamaan kuadrat memiliki akar-akar positif yang berbeda (berlainan) maka
x1 + x2 > 0
x1 . x2 > 0
D > 0
Penambahan kata berlainan hanya menghilangkan tanda sama dengan pada diskriminan
Contoh soal 2 :
Agar persamaan kuadrat x2 — (n — 7)x + n — 4 = 0 memiliki akar-akar positif berlainan maka nilai n adalah ….
Jawab :
x1 + x2 > 0 x1 . x2 > 0
n — 7 > 0 n — 4 > 0
n > 7 …………..(1) n > 4 …………..(2)
D > 0
(n — 7)2 — 4.1.(n — 4) > 0
n2 — 14n + 49 — 4n + 16 > 0
n2 — 18n +65 > 0
(n — 5)(n — 13) > 0
n < 5 atau n > 13 ……………………(3)
Dari (1), (2), dan (3) diperoleh
n > 13
Contoh soal 3 :
Tentukan batas-batas p sehingga persamaan x2 + (p — 8)x + p + 7 = 0 memiliki akar-akar positif berbeda
Jawab :
x1 + x2 > 0 x1 . x2 > 0
– p + 8 > 0 p + 7 > 0
-p > -8 p > -7 ……………(2)
p < 8 …………………………………(1)
D > 0
b2 — 4ac > 0
(p — 8)2 — 4.1.(p + 7) > 0
p2 — 16p + 64 — 4p — 28 > 0
p2 — 20p + 36 > 0
(p — 2)(p — 18) > 0
p < 2 atau p > 18 ………………….(3)
dari (1), (2) dan (3) diperoleh
-7 < p < 2
akar akar negatif persamaan kuadrat
akar akar rasional persamaan kuadrat
penyelesaian persamaan kuadrat
persamaan kuadrat matematika sma
soal dan pembahasan persamaan kuadrat
akar akar persamaan kuadrat berpangkat tinggi