Jika kita memiliki bentuk

^alog f(x) = ^alog g(x) maka f(x) = g(x)

syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0

 

^alog f(x) = b maka f(x) = a^b

syarat f(x) > 0

 

Contoh 1

⁵log (2x-1) = 3

maka

2x — 1 = 5³

2x — 1 = 125

2x = 126

x = 63

kedua nilai x harus diuji ke dalam numerus, yaitu 2x — 1. Karena hasilnya positif maka nilai x = 63 m3m3nuhi

 

Contoh 2

³log (x2 — 4x — 12) = 2

x² — 4x — 12 = 3²

x² — 4x — 12 = 9

x² — 4x — 21 = 0

(x — 7)(x + 3) = 0

x = 7 atau x = -3

kedua nilai x harus diuji ke dalam numerus, yaitu x² — 4x — 12. Karena hasil keduanya positif maka keduanya memenuhi

 

Contoh 3

²log (x — 4) + ²log (x — 10) = 4

²log (x-4)(x-10) = 4

(x-4)(x-10) = 24

x² – 14x + 40 = 16

x² – 14x + 24 = 0

(x -2)(x-12) = 0

x = 2 atau x = 18

syarat : numerus > 0

x — 4 > 0 x — 10 > 0

x > 4 x > 10

Jadi nilai x yang memenuhi hanya 18

Barisan merupakan pemertaan dari dengan domain bilangan asli. Ada juga yang mendefinisikan barisan adalah bilangan bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Pada tersusun atas beberapa suku yang ditulis sebagai

U₁, U₂, U₃, U₄, …..U_n

U_n menyatakan suku ke-n

 

Deret merupakan jumlah suku-suku pada barisan, sehiongga bisa ditulis menjadi

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + …..+ U_n

S_n disebut jumlah n suku pertama

 

Dengan demikian kita bisa menyimpulkan

S₃ = U₁ + U₂ + U₃

S₂ = U₁ + U₂

S₁ = U₁

Jadi

S₂ — S₁ = U₂

S₃ — S₂ = U₃

S₄ — S₃ = U₄

S₉ — S₈ = U₉

Atau kalau dibalik

U₁₂ = S₁₂ — S₁₁

U₁₅ = S₁₅ — S₁₄

Secara umum bisa ditulis

U_n = S_n — S_n-1

 

U_n = suku ke n

S_n = jumlah n suku pertama

Untuk siswa tingkat SMA, kita hanya mempelajari Deret Aritmetika dan Deret Geometri

 

Deret Aritmetika

 

Ciri-ciri Deret aritmetika, selisih antara dua suku yang berurutan adalah tetap

Jadi

U₂ — U₁ = U₃ — U₂ = U₄ — U₃ = U_n — U_n-1 = b

b = beda deret

a = suku pertama

U1 = a

U₂ — U₁ = b maka U₂ = U₁ + b = a + b

U₃ — U₂ = b maka U₃ = U₂ + b = a + 2b

U₄ — U₃ = b maka U₄ = U₃ + b = a + 3b

Jadi, secara umum

U_n = a + (n — 1) b

Dari sini bisa kita tulis

U_n+1 = a + nb

U_n-1 = a + (n — 2) b

U_2n = a + (2n — 1) b

dan seterusnya

Jumlah n suku pertama bisa dinyatakan dengan

S_n = U₁ + U₂ + ….+ U_n-1 + U_n

Sehingga

S_n = a + a + b + ….+ a + (n-2)b + a + (n -1)b

S_n = a + (n-1)b + a + (n-2)b + ….+ a + b + a +

2S_n = 2a+(n-1)b +2a+(n-1)b + ….+2a+(n-1)b + 2a+(n-1)b

2S_n = n(2a+(n-1)b)

 

Deret Geometri

Ciri-ciri deret geometri adalah rasionya (pembandingnya) tetap

r = rasio

a = suku pertama

U₁ = a

U₂ = U₁.r = ar

U₃ = U₂ r = ar²

U₄ = U₃r = ar³

Jadi, secara umum

U_n = ar^{n — 1}

 

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ….+ U_n-1 + U_n

maka :

S_n = a + ar + ar² + ar³ + ….+ ar^{n — 2} + ar^{n — 1}

rS_n = ar + ar² + ar³ + …………….+ ar^{n — 1} + arⁿ

Jika kedua persamaan terakhir dikurangkan maka diperoleh

S_n — rS_n = a — arⁿ

(1-r) S_n = a(1 — rⁿ)

maka

atau

 

Soal-Soal Barisan Dan Deret

 

Soal 1 :

Dari bilangan-bilangan 700, 691, 682, 673, …… maka bilangan yang pertama kali negatif adalah …

Jawab :

a = 700 b = 691 — 700 = –9

Un < 0

a + (n – 1) b < 0

700 + (n — 1)(–9) < 0

700 – 9n + 9 < 0

– 9n < – 709

karena n bulat maka n yang memenuhi adalah

79, 80, 81, 82 , 83 ……dst

Karena yang diminta bilangan yang pertama maka n = 79

Un = a + (n – 1) b = 700 + (79 – 1)(–9)

= 700 + 78(–9) = 700 – 702 = –2

Jadi bilangan negatif yang pertama dalam barisan tersebut adalah –2

 

Soal 2 :

Diketahui deret aritmetika dengan suku ke 5 adalah 41 dan suku ke 9 adalah 73. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah …

Jawab :

U₅ = 41 maka a + 4b = 41

U₉ = 73 maka a + 8b = 73

Jika kita eliminasi maka

a + 8b = 73

a + 4b = 41 _

. 4b = 32 maka b = 8

a + 4b = 41

a + 32 = 41

a = 9

 

S₂₀ = 10(18 + 152) =1700

 

Soal 3 :

Pada barisan geometri diketahui U₁ = k ^{x + 1}, U₂= k^{2x — 2} , dan U₈ = k^3x maka x = …

Jawab :

a = U₁ = k ^{x + 1}

U₂= ar = k^{2x — 2}

k ^{x + 1} . r = k^{2x — 2}

U₈ = k^3x

ar⁷ = k^3x

k ^{x + 1} . (k^{x — 3})⁷ = k^3x

k ^{x + 1} .k^{7x — 21} = k^3x

k ^{x + 1 + 7x — 21} = k^3x

k ^{8x — 20} = k^3x

8x — 20 = 3x

5x = 20

x = 4