Istilah akar-akar persekutuan sama artinya dengan akar-akar berserikat atau akar-akar yang sama. Akar yang sama di sini tidak disebut akar kembar, karena melibatkan dua persamaan kuadrat.
Misalnya :
- Persamaan x2 — 5x + 6 = 0 dan x2 — 2x — 3 = 0 memiliki sebuah akar persekutuan yaitu x= 3
- Persamaan x2 — 7x + 12 =0 dan 2x2 — 14x + 24 = 0 memiliki dua buah akar persekutuan, yaitu x=3 dan x = 4
Persamaan kuadrat memiliki 2 akar. Jika dua atau lebih persamaan kuadrat yang memiliki dua akar persekutuan, berarti persamaan-persamaan tersebut adalah persamaan yang sama. Atau bisa dikatakan salah satu persamaan adalah kelipatan persamaan yang lain.
Contoh soal 1
Agar persamaan x2 + nx — 6 = 0 dan 5x2 +10x + m + 3 = 0 memiliki dua akar persekutuan maka nilai m + n = …
Jawab :
kita lihat koefisien x2. Supaya kedua koefisien sama maka persamaan pertama dikali 5
5x2 + 5nx — 30 = 0
5x2 +10x + m + 3 = 0
maka
5n = 10 → n = 2
m + 3 = -30 → m = -33
m + n = -31
Contoh soal 2
Persamaan 2x2 + 8x — 2m = 0 dan mx2 + 12x — k — 4 = 0 memiliki 2 akar berserikat. Nilai k yang memenuhi adalah ….
Jawab :
Perhatikan koefisien x. Agar sama maka persamaan pertama dikali 3 dan persamaan kedua dikali dengan 2, sehingga
6x2 + 24x — 6m = 0
2mx2 + 24x — 2k — 8 = 0
2m = 6 maka m = 3
-2k — 8 = -6m
-2k — 8 = -18
-2k = -10
k = 5
Contoh Soal 3
Persamaan x2 -3x — 4 = 0 dan x2 — 4x -p + 3 = 0 memiliki sebuah akar persekutuan. Nilai p sama dengan …
Jawab :
Persamaan pertama sangat mudah untuk dicari akarnya
x2 -3x — 4 = 0
(x — 4)(x + 1) = 0
x = 4 atau x = -1
Karena akar persekutuan hanya sebuah, maka kita tidak tahu akar yang mana yang menjadi akar persekutuan
Jika x = 4 merupakan akar persekutuan berarti bisa disubtitusikan ke persamaan x2 — 4x -p + 3 = 0, sehingga
42 — 4.4 -p + 3 = 0
16 -16 — p + 3 = 0
p = 3
Jika x = -1 merupakan akar persekutuan berarti bisa disubtitusikan ke persamaan x2 — 4x -p + 3 = 0, sehingga
(-1)2 — 4(-1) -p + 3 = 0
1 + 4 — p + 3 = 0
p = 8
Jadi, p = 3 atau p = 8
Cara lain :
Perhatikan bahwa jika kita mengeliminasi 2 persamaan kuadrat yang memiliki sebuah akar persekutuan maka akan diperoleh akar persekutuan berikut
midalnya kita eliminasi x2 — 5x + 6 = 0 dan x2 — 2x — 3 = 0
x2 — 5x + 6 = 0
x2 — 2x — 3 = 0 _
-3x + 9 = 0
x = 3
Nilai x = 3 inilah akar persekutuannya
Sekarang kita kembali ke contoh soal 3
x2 — 3x — 4 = 0
x2 — 4x — p + 3 = 0 _
x + p — 7 = 0
x = -P + 7
selanjutnya nilai x ini kita substitusikan ke salah satu persamaan
x2 -3x — 4 = 0
(-p+7)2 -3(-p+7) — 4 = 0
p2 — 14p + 49 + 3p — 21 — 4 = 0
p2 -11p + 24 = 0
(p -3)(p-8) = 0
p = 3 atau p = 8
Contoh Soal 4
Jika persamaan x2 — 5x + 2p = 0 dan x2 — 7x + p + 10 = 0 persamaan memiliki satu akar persekutuan maka nilai m adalah
Jawab :
Karena tidak ada akar yang bisa dicari maka kita langsung memakai cara kedua, yaitu eliminasi
x2 — 5x + 2p = 0
x2 — 7x + p + 10 = 0
2x + p — 10 = 0
2x = -p + 10
sekarang nilai x ini kita substitusikan ke persamaan x2 — 5x + 2p = 0
Jika kedua ruas dikali 4 maka diperoleh
p2 — 20p + 100 + 10p — 100 + 8p = 0
p2 — 2p = 0
p(p — 2)=0
p = 0 atau p = 2
Contoh Soal 5
Tentukan nilai h agar bentuk
bisa disederhanakan
Jawab :
Bisa disederhanakan pembilang dan penyebut memiliki satu faktor yang sama. Ini artinya sama saja x2 — 7x + 3h = 0 dan x2 — 8x + h + 11 = 0 memiliki sebuah akar persekutuan. Supaya lebih mudah langsung kita eliminasi saja
x2 — 7x + 3h = 0
x2 — 8x + h + 11 = 0 _
x + 2h — 11 = 0
x = -2h + 11
x2 — 7x + 3h = 0
(-2h+11)2 — 7(-2h + 11) + 3h = 0
4h2 — 44h + 121 + 14h — 77 + 3h = 0
4h2 — 27h + 44 = 0
(h — 4)(4h — 11) = 0
h = 4 atau h = 11/4
akar akar persamaan kuadrat berpangkat tinggi
penyelesaian persamaan kuadrat
persamaan kuadrat matematika sma
soal dan pembahasan persamaan kuadrat
akar akar negatif persamaan kuadrat
