Super Matematika

Deret aritmetika memiliki ciri-ciri selisih tetap sehingga

U₂ — U₁ = U₃ — U₂ = U₄ — U₃ = U₁₀ — U₉ = U_n — U_n-1 = b

Suku ke n pada deret aritmetika dinyatakan dengan

U_n = a + (n — 1) b

dengan a = suku pertama
dan b = beda

Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan

atau

Contoh soal 1 :

3, 7, 11, 15, …..

suku ke 1000 sama dengan ….

Jawab :

a = 3
b = 7 — 3 = 4
U_n = a + (n-1) b
=3 + (n — 1) 4
= 3 + 4n — 4
= 4n — 1
U₁₀₀₀ = 4000 — 1 = 3999

Contoh soal 2 :

Jumlah 2000 suku pertama deret

1 + 3 + 5 + 7 + ….

adalah

Jawab :

a = 1
b = 3 — 1 = 2

S₂₀₀₀ = 2000² = 4.000.000

Contoh Soal 3 :

Pada barisan aritmetika diketahui
U₇ = 61 dan U₁₅ = 125
maka U₂₀ = …

Jawab :

U₁₅ = a + 14b = 125
U₇ = a + 6b = 61 _
. 8b = 64
. b = 8

a + 6b = 61
a + 56 = 61
a = 5

U₂₀ = a + 19b = 5 + 152 = 157

Contoh soal 4 :

4 + 6 + 8 + 10 + ……+ x = 10300

maka x = ….

Jawab :

a = 4 b = 6 — 4 = 2 U_n = x = ?
Sn = 10300
n/2(2a + (n-1)b) = 10300
n/2(8 + 2n — 2) = 10300
4n + n² — n = 10300
n² + 3n — 10300 = 0
(n + 103)(n-100) = 0
n = -103 (tidak memenuhi)
n = 100

x = Un = a + (n — 1)b = 4 + 2n — 2 = 2n + 2
x = 200 + 2 = 202

Contoh soal 5 :

Tiga buah bilangan membentuk deret aritmetika dengan jumlah 60. Jika hasil kali ketiga bilangan adalah 7500 maka bilangan terkecil adalah …

Jawab :

U₁ + U₂ + U₃ = 60
a + a + b + a + 2b = 60
3a + 3b = 60
a + b = 20
a = 20 — b

U₁.U₂.U₃ = 7500
a(a+b)(a+2b) = 7500
(20-b).20(20-b+2b) = 7500
(20-b)(20 +b) = 375
400 — b² = 375
b² = 25
b = 5

a = 20 — b = 20 — 5 = 15

Bilangan terkecil = 15

Contoh soal 6 :

Pada deret aritmetika jumlah n suku pertama deret dinyatakan dengan S_n = 3n² + 8n. Suku ke n deret tersebut adalah …

Jawab :

S_n = 3n² + 8n

S_n-1 = 3(n -1)² + 8(n -1)
= 3(n² — 2n + 1) + 8n — 8
= 3n² — 6n + 3 + 8n — 8
= 3n² + 2n — 5

U_n = S_n — S_n-1
= 3n² + 8n — (3n² + 2n — 5)
= 6n + 5

Contoh soal 6 :

Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku merupakan suku pertama, suku ke 8 dan suku ke 9 dari barisan aritmetika. Jika sisi miring sama dengan 65 maka sisi siku-siku terpanjang sama dengan

Jawab :

U₉ = 65
a + 8b = 65
a = 65 — 8b

u₁² + U₈² = U₉²
a² + (a+7b)² = 65²
(65 — 8b)² + (65-8b+7b)² = 65²
(65 — 8b)² + (65-b)² = 65²
4225 — 1040b + 64b² + 4225 — 130b + b² = 4225
65b² — 1170b + 4225 = 0
b² — 18b + 65 = 9
(b — 13)(b-5) = 0
b = 13 (tidak mungkin → menyebabkan salah satu sisi negatif)
b = 5

a = 65 — 8b = 65 — 40 = 25
U₈ = a + 7b = 25 + 35 = 60

Jadi, sisi siku-siku terpanjang = 60

Contoh soal 7 :

pada deret aritmetika diketahui jumlah 7 suku pertamanya adalah 84 dan jumlah 11 suku pertamanya adalah 172. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …

Jawab :

S₇ = 84 S₁₁ =176 S₁₅ = …

Jawab :

S_n = n/2 (2a + (n-1)b)
S₇ = 7/2(2a + 6b) = 84
7(a + 3b) = 84
a + 3b = 12

S₁₁ = 11/2 (2a + 10b) = 176
11(a + 5b) = 176
a + 5b = 16

Sekarang kita eliminasi kedua persamaan

a + 5b = 16
a + 3b = 12 _
. 2b = 4 maka b = 2

a + 3b = 12
a + 6 = 12
a = 6

S₁₅ = 15/2 (2a + 14b)
= 15 (a + 7b) = 15(6 + 14) 300

Contoh soal 8 :

Diketahui 400 suku deret deret aritmetika. Jumlah suku-suku bernomor genap adalah 15.000 sedangkan jumlah suku-suku bernomor ganjil adalah 7.000. Beda deret sama dengan ….

Jawab :

U₂ + U₄ + U₆ + …+ U₄₀₀ = 15.000
U₁ + U₃ + U₅ + …+ U₃₉₉ = 7.000 _
b + b + b + …. + b = 8000
200b = 800
b = 4

Perhatikan keempat rumus trigonometri jumlah sudut berikut

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B ……………………(1)
sin (A — B) = sin A cos B — cos A sin B …………………….(2)
cos (A + B) = cos A cos B — sin A sin B ……………………(3)
cos (A + B) = cos A cos B + sin A sin B ……………………(4)

Jika rumus (1) ditambah rumus (2) maka

sin (A+B) + sin (A-B) = 2 sin A cos B

sehingga

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) …………………….(5)

Jika rumus (1) dikurangi rumus (2) maka

sin (A+B) — sin (A-B) = 2 cos A sin B

sehingga

2 cos A sin B = sin (A+B) — sin (A-B) ……………………….(6)

Jika rumus (3) ditambah rumus (4) maka

cos (A+B) + cos (A-B) = 2 cos A cos B

sehingga

2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) …………………….(7)

Jika rumus (3) dikurangi rumus (4) maka

cos (A+B) — cos (A-B) = -2 sin A sin B

sehingga

-2 sin A sin B = cos (A+B) — cos (A-B) ……………………..(8)

Jadi yang dimasud rumus trigonometri perkalian menjadi penjumlahan adalah

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B)
-2 sin A sin B = cos (A+B) — cos (A-B)

contoh soal 1

2 sin 75^o cos 15^o = ..

Jawab :

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)

2 sin 75^o cos 15^o = sin (75^o + 15^o) + sin (75^o — 15^o)
= sin 90^o + sin 60^o

Contoh soal 2

2 cos 75^o cos 15^o = ..

Jawab :

2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B)

2 cos 75^o cos 15^o = cos (75^o + 15^o) + cos (75^o — 15^o)
= cos 90^o + cos 60^o
= 0 + 1/2 = 1/2

contoh soal 3

cos 67,5^o sin 22,5^o = …

Jawab :

2 cos A sin B = sin (A+B) — sin (A-B)

2cos 67,5^o sin 22,5^o = sin (67,5^o+22,5^o) — sin (67,5^o-22,5^o)

= sin 90^o — sin 45^o

Jadi

cos 67,5^o sin 22,5^o

Contoh soal 4

sin 52,5^o sin 7,5^o = …

Jawab :

-2 sin A sin B = cos (A+B) — cos (A-B)

-2sin 52,5^o sin 7,5^o

= cos (52,5^o+7,5^o) — cos (52,5^o-7,5^o)

= cos 60^o — cos 45^o

Jadi

sin 52,5^o sin 7,5^o =

Contoh soal 5

Jika sin 54^o — sin 18^o = x maka sin 54^o sin 18^o = …

Jawab :

-2 sin A sin B = cos (A+B) — cos (A-B)

-2 sin 54^o sin 18^o = cos (54^o+18^o) — cos (54^o-18^o)

= cos 72^o — cos 36^o = cos (90o — 18^o) — cos (90o — 54^o)

= sin 18^o — sin 54^o = -(sin 54^o — sin 18^o) = -x

sin 54^o sin 18^o = x/2

Contoh soal 6

Segitiga ABC siku-siku di A. Jika sin B cos C = 0,6 maka sin (B — C) = …

Jawab :

A = 90^o maka B + C = 90^o

sin B cos C = 0,6
2sin B cos C = 1,2
sin (B + C) + sin (B — C) = 1,2
sin 90^o + sin (B — C) = 1,2
1 + sin (B — C) = 1,2
sin (B — C) = 0,2

Contoh soal 7

Pada segitiga siku-siku ABC, cos A cos B = 0,3 maka cos (A-B) = …

Jawab :

Karena cos 90o = 0 maka segitiga tidak mungkin siku-siku di A atau B. Segitiga hanya bisa siku-siku di C sebab cos A cos B = 0,3

C = 90^o maka A + B = 90^o

2cos A cos B = 0,6
cos (A+B) + cos (A-B) = 0,6
cos 90^o + cos (A-B) = 0,6
0 + cos (A-B) = 0,6
cos (A — B) = 0,6