Bilangan rasional ada 2 jenis, yaitu bulat dan pecahan. Otomatis, jika persamaan kuadrat memiliki akar-akar rasional maka persamaan memiliki akar-akar bulat atau pecahan, sehingga mudah kita faktorkan.
Bentuk umum penyelesaian persamaan kuadrat adalah
D = b2 -4ac
Mengingat Diskriminan (D) berada di dalam akar, maka persamaan akan memiliki akar-akar rasional jika Diskriminan berupa bilangan kuadrat
Contoh-contoh berikut memiliki akar-akar rasional
x2 + 7x + 12 = 0 D = 72 — 4.1.12 = 49 — 48 = 1 = 12
x2 — 2x — 15 = 0 D = (-2)2 — 4.1(-15) = 4 + 60 = 64 = 82
15x2 — 23x + 8 = 0 D = (-23)2 — 4.15.8 = 529 — 480 = 49 = 72
Contoh-contoh berikut memiliki akar-akar irasional
x2 — 5x + 2 = 0 D = (-5)2 — 4.1.2 = 25 — 8 = 17
2x2 — 7x + 1 = 0 D = (-7)2 — 4.2.1 = 49 — 8 = 41
3x2 + 9x — 5 = 0 D = 92 — 4.3.(-5) = 49 + 60 = 109
Jadi, syarat agar persamaan kuadrat memiliki akar-akar rasional adalah persamaan bisa dinyatakan dengan kondisi D = k2 dengan k anggota bilangan rasional, sedangkan a, b, c juga rasional.
Contoh soal 1 :
Tentukan apakah persamaan-persamaan berikut memiliki akar-akar rasional atau tidak.
1.x2 — 8x + 7 = 0
2.x2 — 6x + 7 = 0
3.8x2 + 14x – 15 = 0
4.x2 — 2x + 15 = 0
5. x2 — 6tx + 5t2 = 0 , t bilangan rasional
6. x2 + (m+ 2)x + m + 1 = 0 ; m bilangan rasional
7. x2 – (p + 5)x + 3p + 6 = 0; p bilangan rasional
Jawab :
1.x2 — 8x + 7 = 0
. D = b2 – 4ac = (-8)2 — 4.1.7 = 64 — 28 = 36 = 62
. Karena D bilangan kuadrat maka persamaan ini punya akar-akar rasional
2. x2 — 6x + 7 = 0
. D = (-6)2 — 4.1.7 = 36 — 28 = 8
. D bukan bilangan kuadrat, sehingga persamaan ini tidak memiliki akar-akar rasional
3. 8x2 + 14x – 15 = 0
. D = 142 — 4.8.(-15) = 196 + 480 = 676 = 262
. Karena D bilangan kuadrat maka persamaan ini punya akar-akar rasional
4. x2 — 2x + 15 = 0
. D = (-2)2 – 4.1.15 = 4 — 60 = -56
. Karena D < 0 maka persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar real
5. x2 — 6tx + 5t2 = 0 , t bilangan rasional
. D = (-6t)2 – 4.1.5t2 = 36t2 – 20t2 = 16t2 = (4t)2
. Karena D bilangan kuadrat maka persamaan ini punya akar-akar rasional
6. x2 + (m+ 2)x + m + 1 = 0 ; m bilangan rasional
. D = (m + 2)2 – 4.1.(m + 1) = m2 + 4m + 4 — 4m — 4 = m2
. Karena D bilangan kuadrat maka persamaan ini punya akar-akar rasional
7. x2 – (p + 5)x + 3p + 6 = 0; p bilangan rasional
. D = (p+5)2 – 4.1.(3p+6) = p2 +10p +25 -12p -24 = p2 -2p +1 = (p — 1)2
Contoh Soal 2 :
Agar persamaan x2 + (n + 4)x + 2n + m = 0 memiliki akar-akar rasional untuk setiap n rasional maka nilai m adalah …
Jawab :
D = b2 — 4ac
D = (n + 4)2 – 4.1.(2n + m)
D = n2 + 8n + 16 — 8n — 4m
D = n2 + 16 – 4m
Agar akar-akar rasional maka
D = n2
sehingga 16 – 4m = 0
16 = 4m maka m = 4
Contoh soal 3 :
Tentukan nilai p agar persamaan
x2 – (n + 6)x + n + p = 0
memiliki akar-akar rasional untuk setiap n rasional
Jawab :
D = b2 — 4ac
D = (n + 6)2 — 4.1.(n + p)
D = n2 + 12n + 36 – 4n — 4p
D = n2 + 8n + 36 — 4p
D = n2 + 8n + 16 + 20 — 4p
D = (n + 4)2 + 20 — 4p
Agar D = k2 maka kita pilih D = (n + 4)2 sehingga
20 — 4p = 0
20 = 4p
p = 5
Contoh Soal 4 :
Persamaan x2 — (t – 4) x + t – 3m + 1 = 0 memiliki akar-akar rasional untuk setiap t rasional. Akar-akar rasional tersebut adalah …
Jawab :
D = b2 — 4ac
D = (t – 4)2 – 4.1.(t – 3m + 1)
D = t2 – 8t + 16 — 4t + 12m — 4
D = t2 – 12t + 12 + 12m
D = t2 – 12t + 36 — 24 + 12m
D = (t — 6)2 – 24 + 12m
Agar akar-akar rasional maka
-24 + 12m = 0
12m = 24
m =2
Persamaan menjadi :
x2 — (t – 4) x + t – 5 = 0
Untuk mendapatkan akar-akarnya kita bisa menggunakan rumus ABC
Contoh soal 5
Jika akar-akar persamaan kuadrat x2 + 6x + m — 6 = 0 bilangan rasional dan m bilangan cacah, maka nilai m adalah
Jawab :
D = 62 — 4.1.(m — 6)
D = 36 — 4m + 24
D = 60 — 4m
Jika dilihat bentuknya, D pasti bilangan kuadrat genap yang nilainya di bawah 60, sehingga nilai D yang mungkin adalah 36, 16, 4, dan 0
Jika D = 36
60 — 4m = 36
4m = 24
m = 6
Jika D =16
60 — 4m = 16
4m = 44
m = 11
Jika D = 4
60 — 4m = 4
4m = 56
m = 14
Jika D = 0
60 — 4m = 0
m = 15
Jadi, nilai m cacah yang memenuhi adalah 6, 11, 14, dan 15
Contoh soal 6
Persamaan
mempunyai akar-akar rasional untuk setiap t rasional. Akar-akar rasional persamaan tersebut adalah …
Jawab :
Bentuk 
bisa diubah menjadi 
Agar D menjadi bilangan kuadrat maka
-8n + 40 = 0
-8n = -40
n = 5
Selanjutnya persamaan kuadrat menjadi
Persamaan ini bisa difaktorkan menjadi
x = -5 atau x = 2/t
akar akar negatif persamaan kuadrat
akar akar positif persamaan kuadrat
penyelesaian persamaan kuadrat
persamaan kuadrat matematika sma
soal dan pembahasan persamaan kuadrat
