Persamaan Kuadrat

Akar-akar berlainan tanda

Jika Persamaan Kuadrat memiliki aar-akar berlainan tanda atau berbeda tanda, artinya persmaaan kuadrat memiliki akar positif dan negatif. Nilai mutlak akarnya tidak harus sama.Jika sama (misalnya -3 dan 3 ATAU -7 dan 7) disebut akar-akar berlawanan tanda.

Jadi, akar-akar berlainan tanda di sini misalnya ( 7 dan -2), (-6 dan 1) dan sebagainya.

Agar persamaan kuadrat memiliki akar-akar berlainan tanda maka

x₁ > 0 dan x₂ < 0

akibatnya

x₁.x₂ < 0 sedangkan D > 0

Contoh soal :

Tentukan nilai p agar persamaan x² + (p + 2)x + p +5 = 0 memiliki akar-akar berlainan tanda

Jawab :

x₁.x₂ < 0

p + 5 < 0

p < – 5 …………………………(1)

D > 0

b² — 4ac > 0

(p + 2)² — 4.1.(p + 5) > 0

p² + 4p + 4 — 4p — 20 > 0

p² — 16 > 0

(p — 4)(p + 4) > 0

p < -4 atau p > 4 ……………..(2)

dari (1) dan (2) diperoleh p < -5

Latihan soal

1. Agar persamaan kuadrat x² +(m — 3)x + m + 5 = 0 memiliki akar-akar berlainan tanda maka batas-batas nilai m adalah …

2. Persamaan

Akar-Akar Saling Berkebalikan

Jika kita punya bilangan 2/3 maka keblikannya adalah 3/2

Jika kita punya bilangan 6 maka keblikannya adalah 1/2

Jika kita punya bilangan -4 maka keblikannya adalah -1/4

Nah, sekarang jika kita memiliki persamaan kuadrat ax² + bx + c =0. dengan akar-akar x₁ dan x₂ saling berkebalikan maka berlaku

x₁.x₂ = 1

c=a

Contoh Soal 1 :

Tentukan nilai k agar persamaan (2k — 5)x² — 8x + 4 — k = 0 memiliki akar-akar yang saling berkebalikan

Jawab :

Syarat akar-akar saling berkebalikan adalah

c = a

4 — k = 2k — 5

– 3k = — 9

k = 3

Contoh soal 2 :

Persamaan (7 — m)x² + 4mx + m + 3 = 0 memiliki akar-akar yang saling berkebalikan sedangkan persamaan x² — 3mx + 1 – t = 0 memiliki 2 akar real berbeda. Nilai t yang memenuhi adalah ….

Jawab :

(7 — m)x² + 4mx + m + 3 = 0 memiliki akar-akar yang saling berkebalikan maka

c = a

m + 3 = 7 — m

2m = 4

m = 2

x² — 3mx + 1 – t = 0 bisa diubah menjadi

x² — 6x + 1 – t = 0

bentuk ini memiliki 2 akar real berbeda maka

D > 0

(-6)2 — 4.1(1 — t)> 0

36 — 4 + 4t > 0