Super Matematika

Setiap kurva y = f(x) jika digeser

m ke kanan

dan n ke atas

maka persamaannya menjadi

y — n = f(x — m)

Ini berlaku untuk kurva apapun, termasuk fungsi kuadrat

 

Untuk lebih jelasnya perhatikan grafik y = x², y = x² + 1 dan y = x² + 2 berikut ini

Perhatikan bahwa setiap penambahan konstanta menyebabkan grafik bergeser ke atas. Kondisi ini kelihatannya bertentangan dengan teori awal. Padahal sebenarnya tidak. Penambahan konstantan pada bagian fungsi yang di ruas kanan tentu akan menggeser grafik ke atas. Kondisi ini sama artinya dengan mengurangi konstanta pada bagian y yang di ruas kiri.

jadi y = x² + 1 sama saja dengan y – 1 = x²

jadi y = x² + 2 sama saja dengan y – 2 = x²

jadi y = x² + 3 sama saja dengan y – 3 = x²

jadi y = x² + 4 sama saja dengan y – 4 = x²

dan sebagainya

Bagaimana dengan y =x² – 1, y =x² – 2 dan y = x² – 3 ?

Bentuk ini sama artinya dengan y + 1 =x², y+2 =x² dan y + 3 = x²

 

artinya parabola mengalami pergeseran ke bawah.

 

Berikutnya akan kita bahas pergeseran ke kiri dan ke kanan

 

Misalkan kita gambar grafik fungsi y = x² – 2x + 1

Titik potong grafik dengan sumbu y adalah

x = 0 maka y = 1

Jadi koordinat titik potong dengan sumbu y adalah (0, 1)

Titik potong dengan sumbu x adalah

y = 0

x² – 2x + 1 = 0

(x – 1)(x – 1) = 0

x = 1 saja

Jadi koordinat titik potong sumbu x adalah (1, 0)

Ini berarti grafik memotong sumbu x di satu titik, atau dikatakan menyinggung sumbu x

Dengan demikian gambar grafiknya adalah

Tampak bahwa grafik ini sama dengan parabola y = x² yang digeser satu satuan ke kanan

Padahal y = x² – 2x + 1 bisa dinyatakan menjadi y =(x – 1)²

dari sini bisa kita simpulkan bahwa

♥ y = (x – 1)² diperoleh darti y = x² yang digeser 1 langkah ke kanan

♥ y = (x — 5)² diperoleh darti y = x² yang digeser 5 langkah ke kanan

♥ y = (x + 1)² diperoleh darti y = x² yang digeser 1 langkah ke kiri

♥ y = (x + 3)² diperoleh darti y = x² yang digeser 3 langkah ke kiri

dan sebagainya

 

Dengan demikian jika kita miliki grafik y – 5 = (x — 2)² bisa diperoleh dari grafik y = x² yang digeser 2 langkah ke kanan dan 5 langkah ke atas

 

 

 

Fungsi Kuadrat

Diskriminan Fungsi Kuadrat

Sumbu Simetri Fungsi Kuadrat

Nilai Ekstrim Fungsi Kuadrat

Menyusun Fungsi Kuadrat

Hubungan Fungsi Kuadrat Dan Garis

Hubungan Dua Fungsi Kuadrat

Koordinat Titik Puncak Fungsi Kuadrat

Lanjutan Menyusun Fungsi Kuadrat

Kecekungan Grafik Fungi Kuadrat

Soal Soal Fungsi Kuadrat Yang Jarang Ditemukan

Titik Titik Potong Fungsi Kuadrat

Penggunaan Definit Pada Fungsi Kuadrat

 

 

Fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di x = α dan x = β adalah sebagai berikut

Fungsi kuadrat yang memotong y=p di x = α dan x = β adalah sebagai berikut

Fungsi kuadrat yang memotong garis y=mx + n di x = α dan x = β adalah sebagai berikut

 

Contoh Soal 1 :

Parabola yang memotong garis y = 6 di x = 2 dan x = 4 serta melalui (5, 3). Persamaan parabola tersebut adalah …

Jawab :

y = a(x — 2)(x — 4) + 6

Karena melalui (5, 3) kita bisa mensubtitusikan x =5 dan y = 3

3 = a(5 — 2)(5 — 4)

3 = 3a

a = 1

Jadi persamaan parabola adalah

y = 1.(x — 2)(x — 4) + 6

y = x² — 6x + 8 + 6

y = x² — 6x + 14

 

Contoh Soal 2 :

Diketahui fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c melalui titik (2, 10), (6, 10), dan (5, 4). Nilai a + b + c = …

Jawab :

Grafik melalui (2, 10) dan (6, 10), artinya grafik memotong garis y = 10 di x = 2 dan x = 6.

Dengan demikian persamaannya bisa ditulis menjadi

f(x) = a(x – 2)(x – 6) + 10

Karena melalaui (5, 4) maka f(5) = 4

a(5 – 2)(5 – 6) + 10 = 4

–3a = -6

a = 2

sehingga persamaannya menjadi

f(x) = 2(x – 2)(x – 6) + 10

f(x) = 2(x² – 8x + 12) + 10

f(x) = 2x² – 16x + 34

maka a + b + c = 2 – 16 + 34 = 20

 

Contoh soal 3

Suatu fungsi kuadrat memotong garis y = 3x + 1 di x = –1 dan x = 5. Jika fungsi melalui (4, –7) maka persamaan grafik fungsi tersebut adalah …

Jawab :

fungsi kuadrat memotong garis y = 3x + 1 di x = –1 dan x = 5 maka

y = a(x + 1)(x – 5) + 3x + 1

Karena melalui (4, –7) maka

–7 =a(5)(–1) + 12 + 1

–20 = –5a maka a = 4

Jadi

y = 4(x + 1)(x – 5) + 3x + 1

y = 4(x² – 4x – 5) + 3x + 1

y = 4x² – 16x – 20 + 3x + 1

y = 4x² – 13x – 19

 

Contoh soal 4 :

Parabola f(x) = x² – 2 memotong garis y = 2x + 5 di P dan Q. Parabola g(x) melalui P, Q, dan (2, 30). Parabola g(x) memiliki persamaan …

Jawab :

Untuk lebih mudahnya kita buat gambar sebagai berikut :

Tampak bahwa parabola f(x) = x² – 2 dan garis y = 2x + 5 berpotongan di x = p dan x = q, artinya p dan q bisa dicari dengan menyamakan

x² – 2 = 2x + 5

x² – 2x – 7 = 0

persamaan kuadrat ini jika diselesaiakan diperoleh x = p dan x = q, jadi

x² – 2x – 7 = (x – p)(x – q) ……………………………………(1)

Karena parabola g(x) jiha melalui P dan Q maka

g(x) = a(x – p)(x – q) + 2x + 5

Dengan memakai persamaan (1) maka diperoleh

g(x) = a(x² – 2x – 7) + 2x + 5

g(x) juga melalaui (2, 3) maka

g(2) = 30

a(4 – 4 – 7) + 4 + 5 = 30

–7a = 21 maka a = –3

Jadi

g(x) = –3(x² – 2x – 7) + 2x + 5

g(x) = –3x² + 6x + 21 + 2x + 5

g(x) = –3x² + 8x + 26

 

 

Fungsi Kuadrat

Diskriminan Fungsi Kuadrat

Sumbu Simetri Fungsi Kuadrat

Nilai Ekstrim Fungsi Kuadrat

Menyusun Fungsi Kuadrat

Hubungan Fungsi Kuadrat Dan Garis

Hubungan Dua Fungsi Kuadrat

Koordinat Titik Puncak Fungsi Kuadrat

Pergeseran Fungsi Kuadrat

Kecekungan Grafik Fungi Kuadrat

Soal Soal Fungsi Kuadrat Yang Jarang Ditemukan

Titik Titik Potong Fungsi Kuadrat

Penggunaan Definit Pada Fungsi Kuadrat