Super Matematika

Secara umum turunan aljabar dinyatakan dengan

Jika y = xⁿ maka y’ = nx^n-1

Contoh 1

y = x⁸ maka y ‘ = …

Jawab :

y’ = 8x^8-1

y’ = 8x⁷

Contoh 2 :

maka y’ = …

Jawab :

y = x^{– 3}

maka

y’ = — 3 x ^-3-1

y’ = – 3 x ^-4

Contoh 3 :

y = 1 maka y’ = ….

Jawab

y = 1

y = x⁰

maka

y’ = 0.x^0-1

y’ = 0

Contoh 4 :

y = 7

Jawab :

y = 7 = 7.1

y = 7x⁰

maka

y’ = 0.7x^{– 1}

y’ = 0

Dari contoh 3 dan contoh 4 bisa disimpulkan

Jika c = konstanta

Dan y = c maka y’ = 0

Contoh 5 :

Jika

maka y’ = …

Jawab :

maka

Turunan Trigonometri dasar

y = sin x maka y’ = cos x

y = cos x maka y’ = — sin x

y = tan x maka y’ = sec² x

y = cot x maka y’ = -csc² x

y = sec x maka y’ = sec x tan x

y = csc x maka y’ = -csc x cot x

sifat-sifat

y = uv maka y’ = u’v + uv’

maka

Contoh Soal 1 :

Turunan pertama dari y = sin 2x adalah ….

Jawab :

y = sin 2x = 2 sin x cos x

maka u = 2 sin x dan v = cos x

sehingga u’ = 2 cos x dan v’ = — sin x

maka bisa ditulis

y = uv

dan

y’ = u’v + uv’

y’ = 2 cos x cos x + 2 sin x (- sin x)

y’ = 2 cos² x — 2 sin² x

y’ = 2 (cos² x — sin² x)

y’ = 2 cos 2x

Ternyata bilangan 2 yang ada di dalam sinus keluar, tetapi yang didalam masih ada

Dengan cara yang sama bisa kita simpulkan

y = cos 2x maka y’ = — 2 sin 2x

Secara umum bisa kita tulis

y = sin ax maka y’ = a cos ax

y = cos ax maka y’ = — a sin ax

y = tan ax maka y’ = a sec² ax

y = cot ax maka y’ = — a csc² ax

y = sec ax maka y’ = a sec ax tan ax

y = csc ax maka y’ = — a csc ax cot ax

Contoh Soal 2 :

Tentukan turunan pertama dari

Jawab :

u = 5 sin 3x + 4 maka u’ = 15 cos 3x

v = 2 sin 3x + 6 maka v’ = 6 cos 3x

Teorema Rantai

y = sin p(x) maka y’ = cos p(x).p'(x)

y = cos p(x) maka y’ = — sin p(x).p'(x)

y = tan p(x) maka y’ = sec² p(x).p'(x)

y = cot p(x) maka y’ = -csc² p(x).p'(x)

y = sec p(x) maka y’ = sec p(x) tan p(x).p'(x)

y = csc p(x) maka y’ = -csc p(x) cot p(x).p'(x)

Contoh Soal 3 :

Jika y = tan (x⁵ — 4x² + 7x) maka y ‘ = …

Jawab :

y’ = sec² (x⁵ — 4x² + 7x). (5x⁴ — 8x + 7)

y’ = (5x⁴ — 8x + 7) sec² (x⁵ — 4x² + 7x)

Contoh Soal 4 :