Super Matematika

Penggunaan Diskriminan untuk mencari persamaan garis singgung pada elips sebenarnya jarang dilakukan. Akan tetapi di sini saya akan mencoba membahasnya.

Pada intinya jika sebuah garis menyinggung kurva maka berlaku D = 0, dengan D = b² — 4ac

 

Contoh soal 1 :

Tentukan persamaan garis singgung pada elips 4x² + y² = 17 yang bergradien 8

Jawab :

Gradien = 8 , jadi m = 8

Persamaan garis singgung bisa ditulis menjadi

y = mx + n

y = 8x + n

Persamaan ini bisa disubtitusikan ke kurva

4x² + y² = 17

4x² + (8x + n)² = 17

4x² + 64x² + 16nx + n² = 17

68x² + 16nx + n² — 17 = 0

Syarat bersinggungan :

D = 0

b² — 4ac = 0

(16n)² — 4.68(n² — 17) = 0

256n² — 272n² + 4624 = 0

–16n² = –4624

n² = 289

n = 17 atau n = –17

 

Untuk n = 17, persamaan garis singgungya

y = 8x + 17

 

Untuk n = –17, persamaan garis singgungya

y = 8x — 17

 

Contoh soal 2 :

Tentukan persamaan garis singgung pada elips

yang tegak lurus dengan 3x + 2y = 30

Jawab :

3x + 2y = 30

2y = –3x + 30

maka m₁ = -3/2

karena tegak lurus maka

m₁.m₂ = –1

sehingga m₂ =2/3

maka garis singgungnya bisa dimisalkan

y = m₂x + n

Selanjutnya persamaan garis ini kita subtitusikan ke elips

Jika kedua ruas dikalikan dengan 72 maka

4x² + 9y² = 72

4x² + 4x² + 12nx + 9n² — 72 = 0

8x² + 12nx + 9n² — 72 = 0

 

Syarat bersinggungan :

D = 0

b² — 4ac = 0

(12n)² — 4.8.(9n² — 72) = 0

144n² — 288n² + 2304 = 0

–288n² = –2304

n² = 16

n = 4 atau n = –4

 

Jadi, persamaan garisnya adalah

atau

 

Contoh Soal 3 :

Tentukan persamaan garis singgung elips

di titik (4, 3)

 

Jawab :

Persamaan garis yang melalui (4, 3) adalah

y — 3 = m(x — 4)

y — 3 = mx — 4m

y = mx — 4m + 3

Persamaan ini kita subtitusikan ke elips

Jika kedua ruas dikali dengan 180 maka

9x² + 4y² = 180

9x² + 4(mx — 4m + 3)² = 180

9x² + 4(m²x² + 16m² + 9 — 8m²x + 6mx — 24m) = 180

9x² + 4m²x² + 64m² + 36 — 32m²x + 24mx –96m = 180

(9 + 4m²)x² + (24m — 32m²)x + 64m² — 96m — 144 = 0

 

Syarat bersinggungan

D = 0

b² — 4ac = 0

(24m — 32m²)² — 4(9 + 4m²) (64m² — 96m — 144)=0

(8(3m — 4m²))² — 4(9 + 4m²) 16 (4m² — 6m — 9)=0

64(3m — 4m²)² — 64(9 + 4m²) (4m² — 6m — 9)=0

 

Jika kedua ruas dibagi dengan 64 maka

(3m — 4m²)² — (9 + 4m²) (4m² — 6m — 9)=0

9m² — 24m³ + 16m⁴ — (36m² — 54m — 81 + 16m⁴ — 24m³ — 36m²) = 0

9m² + 54m + 81 = 0

m² + 6m + 9 = 0

(m + 3)² = 0

m = –3

 

Selanjutnya nilai m kita subtitusikan ke persamaan

y = mx — 4m + 3

y = –3x + 12 + 3

y = –3x + 15

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu adalah tetap.

Dua titik tertentu yang dimaksud adalah titik fokus.

Jadi elips memiliki 2 titik fokus

Dari gambar bisa diketahui bahwa PF₁ + PF₂ = konstan

 

Elips horizontal dengan pusat (0,0)

Elips horizontal dengan pusat (0, 0) memiliki persamaan

dengan a > b

terdapat hubungan a² = b² + c²

nilai c menunjukkan posisi fokus dengan koordinat fokus (c, 0) dan (–c, 0)

Elips vertikal dengan pusat (0,0)

Elips vertikal dengan pusat (0, 0) memiliki persamaan

dengan a > b

Hubungan antara a, b, dan c adalah a² = b² + c²

Koordinat fokus adalah (0, c) dan (0, –c)

 

 

Pada setiap Elips berlaku

• a² = b² + c²
• a > b
• a> c
• Panjang sumbu mayor = 2a
• Panjang sumbu minor = 2b
• jarak antara 2 fokus = 2c
• jarak pusat ke fokus = c
• eksentrisitas e = c/a
• Jarak pusat ke direktris = a/e

 

Contoh soal 1 :

Diketahui persamaan elips

Tentukan :

• Panjang sumbu mayor
• Panjang sumbu minor
• koordinat titik pusat
• koordinat titik puncak
• koordinat titik fokus
• eksentrisitas
• persamaan direktris

 

Jawab :

a² = 169 maka a = 13

b² = 25 maka b = 5

a² = b² + c²

169 = 25 +c²

c² = 144

c = 12

• panjang sumbu mayor = 2a = 26
• panjang sumbu minor = 2b = 10
• Karena persamaan elips masih sederhana maka koordinat titik pusat adalah (0, 0)
• bentuk elips adalah horisontal, sehingga koordinat puncak (13, 0) dan (-13, 0)
• koordinat titik fokus (12, 0) dan (-12, 0)
• eksentrisitas e = c/a = 12/13
• Persamaan direktrisnya :

Elips tersebut memiliki gambar sebagai berikut :

 

 

Contoh Soal 2

Diketahui persamaan elips

Tentukan :

• Panjang sumbu mayor
• Panjang sumbu minor
• koordinat titik pusat
• koordinat titik puncak
• koordinat titik fokus
• eksentrisitas
• persamaan direktris

 

Jawab :

a² = 289 maka a = 17

b² = 64 maka b = 8

c² = a² — b² = 289 — 64 = 225

maka c = 15

 

Panjang sumbu mayor = 2a = 34

Panjang sumbu minor = 2b = 16

Koordinat titik pusat (0, 0)

Koordinat titik puncak (0, 17) dan (0, –17)

Koordinat titik fokus (0, 15) dan (0, –15)

Eksentrisitas e = c/a = 15/17

Persamaan direktris

Jika digambar hasilnya adalah sebagai berikut :

 

Untuk mempelajari ilmu lanjutannya, pelajari tentang pergeseran elips dan bentuk umum persamaan elips