Penggunaan Diskriminan untuk mencari persamaan garis singgung pada elips sebenarnya jarang dilakukan. Akan tetapi di sini saya akan mencoba membahasnya.
Pada intinya jika sebuah garis menyinggung kurva maka berlaku D = 0, dengan D = b2 — 4ac
Contoh soal 1 :
Tentukan persamaan garis singgung pada elips 4x2 + y2 = 17 yang bergradien 8
Jawab :
Gradien = 8 , jadi m = 8
Persamaan garis singgung bisa ditulis menjadi
y = mx + n
y = 8x + n
Persamaan ini bisa disubtitusikan ke kurva
4x2 + y2 = 17
4x2 + (8x + n)2 = 17
4x2 + 64x2 + 16nx + n2 = 17
68x2 + 16nx + n2 — 17 = 0
Syarat bersinggungan :
D = 0
b2 — 4ac = 0
(16n)2 — 4.68(n2 — 17) = 0
256n2 — 272n2 + 4624 = 0
–16n2 = –4624
n2 = 289
n = 17 atau n = –17
Untuk n = 17, persamaan garis singgungya
y = 8x + 17
Untuk n = –17, persamaan garis singgungya
y = 8x — 17
Contoh soal 2 :
Tentukan persamaan garis singgung pada elips
yang tegak lurus dengan 3x + 2y = 30
Jawab :
3x + 2y = 30
2y = –3x + 30
maka m1 = -3/2
karena tegak lurus maka
m1.m2 = –1
sehingga m2 =2/3
maka garis singgungnya bisa dimisalkan
y = m2x + n
Selanjutnya persamaan garis ini kita subtitusikan ke elips
Jika kedua ruas dikalikan dengan 72 maka
4x2 + 9y2 = 72
4x2 + 4x2 + 12nx + 9n2 — 72 = 0
8x2 + 12nx + 9n2 — 72 = 0
Syarat bersinggungan :
D = 0
b2 — 4ac = 0
(12n)2 — 4.8.(9n2 — 72) = 0
144n2 — 288n2 + 2304 = 0
–288n2 = –2304
n2 = 16
n = 4 atau n = –4
Jadi, persamaan garisnya adalah
atau 
Contoh Soal 3 :
Tentukan persamaan garis singgung elips
di titik (4, 3)
Jawab :
Persamaan garis yang melalui (4, 3) adalah
y — 3 = m(x — 4)
y — 3 = mx — 4m
y = mx — 4m + 3
Persamaan ini kita subtitusikan ke elips
Jika kedua ruas dikali dengan 180 maka
9x2 + 4y2 = 180
9x2 + 4(mx — 4m + 3)2 = 180
9x2 + 4(m2x2 + 16m2 + 9 — 8m2x + 6mx — 24m) = 180
9x2 + 4m2x2 + 64m2 + 36 — 32m2x + 24mx –96m = 180
(9 + 4m2)x2 + (24m — 32m2)x + 64m2 — 96m — 144 = 0
Syarat bersinggungan
D = 0
b2 — 4ac = 0
(24m — 32m2)2 — 4(9 + 4m2) (64m2 — 96m — 144)=0
(8(3m — 4m2))2 — 4(9 + 4m2) 16 (4m2 — 6m — 9)=0
64(3m — 4m2)2 — 64(9 + 4m2) (4m2 — 6m — 9)=0
Jika kedua ruas dibagi dengan 64 maka
(3m — 4m2)2 — (9 + 4m2) (4m2 — 6m — 9)=0
9m2 — 24m3 + 16m4 — (36m2 — 54m — 81 + 16m4 — 24m3 — 36m2) = 0
9m2 + 54m + 81 = 0
m2 + 6m + 9 = 0
(m + 3)2 = 0
m = –3
Selanjutnya nilai m kita subtitusikan ke persamaan
y = mx — 4m + 3
y = –3x + 12 + 3
y = –3x + 15