Super Matematika

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu adalah tetap.

Dua titik tertentu yang dimaksud adalah titik fokus.

Jadi elips memiliki 2 titik fokus

Dari gambar bisa diketahui bahwa PF₁ + PF₂ = konstan

 

Elips horizontal dengan pusat (0,0)

Elips horizontal dengan pusat (0, 0) memiliki persamaan

dengan a > b

terdapat hubungan a² = b² + c²

nilai c menunjukkan posisi fokus dengan koordinat fokus (c, 0) dan (–c, 0)

Elips vertikal dengan pusat (0,0)

Elips vertikal dengan pusat (0, 0) memiliki persamaan

dengan a > b

Hubungan antara a, b, dan c adalah a² = b² + c²

Koordinat fokus adalah (0, c) dan (0, –c)

 

 

Pada setiap Elips berlaku

• a² = b² + c²
• a > b
• a> c
• Panjang sumbu mayor = 2a
• Panjang sumbu minor = 2b
• jarak antara 2 fokus = 2c
• jarak pusat ke fokus = c
• eksentrisitas e = c/a
• Jarak pusat ke direktris = a/e

 

Contoh soal 1 :

Diketahui persamaan elips

Tentukan :

• Panjang sumbu mayor
• Panjang sumbu minor
• koordinat titik pusat
• koordinat titik puncak
• koordinat titik fokus
• eksentrisitas
• persamaan direktris

 

Jawab :

a² = 169 maka a = 13

b² = 25 maka b = 5

a² = b² + c²

169 = 25 +c²

c² = 144

c = 12

• panjang sumbu mayor = 2a = 26
• panjang sumbu minor = 2b = 10
• Karena persamaan elips masih sederhana maka koordinat titik pusat adalah (0, 0)
• bentuk elips adalah horisontal, sehingga koordinat puncak (13, 0) dan (-13, 0)
• koordinat titik fokus (12, 0) dan (-12, 0)
• eksentrisitas e = c/a = 12/13
• Persamaan direktrisnya :

Elips tersebut memiliki gambar sebagai berikut :

 

 

Contoh Soal 2

Diketahui persamaan elips

Tentukan :

• Panjang sumbu mayor
• Panjang sumbu minor
• koordinat titik pusat
• koordinat titik puncak
• koordinat titik fokus
• eksentrisitas
• persamaan direktris

 

Jawab :

a² = 289 maka a = 17

b² = 64 maka b = 8

c² = a² — b² = 289 — 64 = 225

maka c = 15

 

Panjang sumbu mayor = 2a = 34

Panjang sumbu minor = 2b = 16

Koordinat titik pusat (0, 0)

Koordinat titik puncak (0, 17) dan (0, –17)

Koordinat titik fokus (0, 15) dan (0, –15)

Eksentrisitas e = c/a = 15/17

Persamaan direktris

Jika digambar hasilnya adalah sebagai berikut :

 

Untuk mempelajari ilmu lanjutannya, pelajari tentang pergeseran elips dan bentuk umum persamaan elips