Perbedaan Jumlah Dan Banyak

 

Banyak orang yang tidak bisa membedakan istilah jumlah dan dan banyaknya. Ketika saya mengajar, saya pernah menanyakan ke siswa, berapa jumlah sudut pada segitiga ? Sebagian siswa menjawab 3. Jelas saja ini merupakan jawaban yang salah. Jika ditanyakan berapa banyak sudut pada segitiga , maka jawabannya adalah 3. Terus berapa jawabannya jika ditanyakan berapa jumlah sudut pada segitiga ? Jawabannya adalah 180^o.

 

Jadi, istilah jumlah berbeda dengan banyaknya. Jika kita menghitung rata-rata, tentu kita harus bisa membedakan, mana itu jumlah dan mana itu banyaknya. Nilai rata-rata sama dengan jumlah data dibagi banyaknya data.

Bisalnya kita punya bilangan 6, 9, 10, 4, 11. Banyaknya bilangan adalah 5, sementara jumlah bilangan adalah 6 + 9 + 10 + 4 + 11 = 40

Maka rata-rata sama dengan 40/5 = 8

 

Kesalahan penggunaan jumlah dan banyaknyasampai saat ini masih banyak terjadi di pelajaran matematika. Di soal-soal ulangan, bahkan juga di buku-buku cetak.

 

Sekarang misalnya saya memiliki bilangan 4³¹x5⁵⁷. Jika bilangan tersebut dihitung, berapa jumlah angka yang muncul ?

4³¹x5⁵⁷ = (2²)³¹ x 5⁵⁷ = = 2⁶²x5⁵⁷ = 2⁵⁺⁵⁷x5⁵⁷ = 2⁵x2⁵⁷x5⁵⁷ = 32x(2×5)⁵⁷ = 32×10⁵⁷

Hasilnya adalah 3200000…0000 (ada 57 angka nol)

Karena yang ditanya jumlah angka maka hasilnya adalah

3 + 2 + 0 + 0 + 0 + …..+ 0 = 5

 

Berbeda jika soalnya adalah

Jika bilangan 4³¹x5⁵⁷ dihitung maka banyaknya angka yang muncul adalah …

 

Hasilnya hitungan adalah 3200000…0000 (ada 57 angka nol)

Maka banyak angka adalah 2 + 57 = 59

 

Di pelajaran kimia seringkali banyak menanyakan jumlah, misalnya jumlah atom, jumlah partikel dan lain-lain. Padahal seharusnya banyaknya ato, banyaknyapartikel, dan lain-lain.

Bentuk umum persamaan hiperbola ada 2 kemungkinan, yaitu :
• Hiperbola horizontal
Ax² — By² + Cx + Dy + E = 0
• Hiperbola vertical
Ay² — Bx² + Cx + Dy + E = 0

Untuk menghitung unsur-unsur yang ada di persamaan hiperbola ini, akan jauh lebih mudah jika persamaan kita ubah menjadi

atau

 

Contoh soal 1

Diketahui Hiperbola dengan persamaan

25x² — 144y² — 300x — 288y – 2844 = 0

Tentukan

• Koordinat pusat
• Jarak pusat ke puncak
• Jarak antar puncak
• Jarak pusat ke fokus
• Jarak antar fokus
• Koordinat puncak
• Koordinat fokus
• Panjang latus rectum
• Eksentrisitas
• Persamaan asimtot
• Persamaan direktris

 

Jawab :

25x² — 144y² — 300x — 288y – 2844 = 0

25x²  — 300x — 144y² — 288y = 2844

25(x² — 12x) — 144(y² + 2y) = 2844

25[(x — 6)² — 36] — 144[(y + 1)² — 1] = 2844

25(x — 6)² — 900 — 144(y + 1)² + 144 = 2844

25(x — 6)² — 144(y + 1)² = 2844 — 144 + 900

25(x — 6)² — 144(y + 1)² = 3600

Jika kedua ruas dibagi dengan 3600 maka :

Jenis hiperbola adalah horizontal

a² = 144 maka a = 12

b² = 25 maka b = 5

c² = a² + b² = 144 + 25 = 169 maka c = 13

Koordinat pusat (6, — 1)

Jarak antar puncak = 2a = 24

Jarak pusat ke fokus = c = 13

Jarak antar fokus = 2c = 26

 

Koordinat puncak (12, 0)dan ( — 12 , 0)

Untuk memudahkan cara mencari puncak adalah sebagai berikut :

 

Untuk mendapatkan puncak maka absis pusat x = 6 kita tambah dengan a=12 atau kita kurangi dengan 12

Puncak kanan diperoleh dengan menambah absis dengan 12. x = 6 + 12 = 18, jadi puncaknya (18, –1)

Puncak kiri diperoleh dengan mengurangi absis dengan 12. x = 6 — 12 = –6 , jadi puncaknya (–6, –1)

 

Koordinat fokus (13, 0)dan ( — 13 , 0)

Untuk mendapatkan fokus maka absis pusat x = 6 kita tambah dengan c=13 atau kita kurangi dengan 13

Fokus kanan diperoleh dengan menambah absis dengan 13. x = 6 + 13 = 19, jadi fokusnya (19, –1)

Fokus kiri diperoleh dengan mengurangi absis dengan 13. x = 6 — 13 = –7 , jadi fokusnya (–7, –1)

 

 

Panjang latus rectum

 

Eksentrisitas

 

Persamaan asimtot

Persamaan asimtot untuk hiperbola horizontal dengan pusat (p, q) adalah

12y + 12 = 5x — 30 atau 12y + 12 = –5x + 30

5x — 12y — 42 = 0 atau 5x + 12y — 18 = 0

Jika tidak hafal dengan rumus maka cara mencari asimtot adalah dengan mengubah bilangan 1 di ruas kanan menjadi 0

Persamaan hiperbola

5(x — 6) = 12(y + 1) atau 5(x — 6) = –12(y + 1)

5x — 30 = 12y + 12 atau 5x — 30 = –12y — 12

5x — 12y — 42 = 0 atau 5x + 12y — 18 = 0

 

Persamaan direktris

Jarak pusat ke direktris adalah

Untuk mendapatkan direktris maka absis yang ada di pusat (x = 6) kita tambah dengan 11 atau dikurangi 11

Direktris kanan x = 6 + 11 = 17

Direktris kiri x = 6 — 11 = –5