Sistem Persamaan Linear 2 Variabel

Sistem persamaan linear 2 variabel, merupakan himpunan 2 persamaan dengan variabel sebanyak 2 buah. Sistem persamaan ini memiliki beberapa cara menyelesaiakan, antara lain adalah

1. Metoda Eliminasi

2. Metoda subtitusi

3. Metoda grafik

4. Metoda determinan

5. Metoda matriks

 

Metoda eliminasi

Supaya lebih mudah langsung saja ke contoh soal ya

 

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari

2x + y = 10

x — y = -1

Jawab :

Untuk mengeliminasi, kita jumlahkan agar variabel y langsung hilang

2x + y = 10

x — y = -1 ___ +

3x = 9 maka x = 3

2x + y = 10

6 + y = 10

y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(3, 4)}

 

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x + 2y = 17

4x — 3y = 17

Jawab :

Koefisien x pada persamaan pertama dengan kedua tidak sama, demikian juga koefisien y. Dengan demikian kita harus menyamakan. Sekarang kita lakukan agar koefisien y sama, yaitu dengan mengalikan 3 pada persamaan pertama dan mengalikan 2 pada persamaan kedua, sehingga diperoleh

9x + 6y = 51

8x — 6y = 34 ___+

17x = 85

x = 5

 

3x + 2y = 17

3.5 + 2y = 17

15 + 2y = 17

2y = 2

y = 1

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(5, 1)}

 

Contoh 3 :

Tentukan himpunan penyelesaiana dari

5x + 2y = 36

2x + 7y = 2

Jawab :

Untuk menyamakan koefisien x maka persamaan (1) dikali 2, sedangkan persamaan (2) dilkali 5

10x + 4y = 72

10x + 35y = 10 ___ _

-31y = 62

y = -2

 

2x + 7y = 2

2x + 7(-2) = 2

2x — 14 = 2

2x = 16

x = 8

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(8, -2)}

 

Metoda subtitusi

Subtitusi artinya mengganti. Jadi, salah satu variabel pada persamaan kita ganti, misalnya y kita ganti dengan x

 

Contoh 4 :

Himpunan penyelesian dari sistem persamaan

3x + y = 6

4x + 3y = 13

adalah …

Jawab :

Persamaan (1) bisa kita ubah sebagai berikut :

3x + y = 6

y = 6 — 3x

Hasil ini kita subtitusi ke persamaan (2)

4x + 3y = 13

4x + 3(6 — 3x) = 13

4x + 18 — 9x = 13

-5x = -5

x = 1

y = 6 — 3x = 6 — 3.1 = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 3)}

 

Contoh 5 :

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

5x + 4y = 22

3x + 7y = 27

adalah …

Jawab :

Persamaan (2) bisa kita ubah sebagai berikut

3x + 7y = 27

7y = 27 — 3x

Selanjutnya hasil ini kita subtitusikan ke persamaan (1)

5x + 4y = 22

Jika kedua ruas dikali 7 maka diperoleh

35x + 108 — 12x = 154

23x = 46

x = 2

maka

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3)}

 

Contoh 6:

Tentukan himpunan penyelesaian dari

5x + 8y = 41

3x — 7y = 1

Jawab :

Persamaan (1) bisa kita ubah sebagai berikut :

5x + 8y = 41

5x = 41 — 8y

Selanjutnya nilai x ini kita subtitusikan ke persamaan (2)

3x — 7y = 1

Jika kedua ruas dikali 5 maka

123 — 24y — 35y = 5

-59y= 5-123 = -118

y = 2

Hasil ini kita subtitusi ke

 

Metoda Determinan

Determinan merupakan suatu nilai pada matriks persegi. Untuk matriks ordo 2×2 yang elemennya a, b, c, dan d determinannya adalah

Jika kita memiliki sistem persamaan

ax + by = e

cx + dy = f

maka penyelesaiannya adalah

Sekarang marilah kita lihat contoh berikut

Contoh soal 7 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x — 7y = 29

4x — y = 22

Jawab

maka nilai x adalah

dan nilai y adalah

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, -2)}

 

Integral Siklometri

Integral siklometri seringkali disebut integral subtitusi trigonometri. Hal ini disebabkan kita mensubtitusikan fungsi trigonometri untuk menggantikan variabel yang ada. Sebutan integral siklometri diseabkan kita sering menggunakan invers fungsi trigonometri.

Contoh invers fungsi trigonometri

y = sin x maka x = arcsin y = sin-1 y

y = cos x maka x = arccos y = cos-1 y

y = tan x maka x = arctan y = tan -1 y

y = cot x maka x = arccot y = cot -1 y

y = sec x maka x = arcsec y = sec-1 y

y = csc x maka x = arccsc y = csc -1 y

Ada 3 bentuk utama dalam menngunakan integral siklometri, yaitu :

1. a2 — x2 kita subtitusi dengan x = a sin θ atau x = a cos θ

2. a2 + x2 kita subtitusi dengan x = a tan θ atau x = a cot θ

3. x2 — a2 kita subtitusi dengan x = a sec θ atau x = a csc θ

Supaya lebih nikmat dalam belajar, marilah kita lihat contoh-contoh berikut

Contoh 1 :

Jawab :

misal x = 4 sin θ

maka dx = 4 cos θ dθ

sehingga

=∫4 sin θ = — 4 cos θ + c

Perhatikan bahwa x = 4 sin θ sehingga sin θ = x/4

Jika bentuk ini kita gambar pada segitiga siku-siku maka

siklometri 1

sehingga

maka

= — 4 cos θ + c

 

Cara kedua kita bisa menggunakan integral subtitusi biasa, yaitu dengan memisalkan

y = 16 — x2

maka

sehingga

 

Contoh 2

Jawab :

misalkan x = 3 tan θ

maka dx = 3 sec2 θ dθ

karena tan θ = x/3

maka

θ = arctan x/3

sehingga

 

Contoh 3 :

Jawab :

misalkan x = 2 sin θ

maka dx = 2 cos θ dθ

karena sin θ = x/2

maka θ = arc sin x/2 + c

dengan demikian

=∫ dθ = θ + c