Super Matematika

Sistem persamaan linear 4 variabel adalah himpunan 4 persamaan yang memiliki 4 variabel. Jika kurang dari 4 persamaan tentunya persamaan memiliki tak terhingga penyelesaian, dan jika ada 5 persamaan atau lebih, bisa jadi tidak memiliki penyelesaian dan terjadi kontadiksi.

Untuk meyelesaiakan sistem persamaan linear 4 variabel maka bentuk ini kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 3 variabel (tentunya ada 3 persamaan), baru kemudian kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel.

Contoh soal

Tentukan himpunan penyelesaian dari

2a + 3b + c + d = 12

a + b + 5c — d = 15

3a + 2b + 2c + 4d = 9

4a — b + 3c + 2d = 5

 

Jawab :

Sekarang kita coba menyelesaiakan dengan metoda eliminasi

Setiap persamaan kita beri nama persamaan (1), (2) , (3) dan (4)

2a + 3b + c + d = 12 ……………………………………(1)

a + b + 5c — d = 15 ………………………………………(2)

3a + 2b + 2c + 4d = 9 ……………………………………(3)

4a — b + 3c + 2d = 5 ……………………………………..(4)

Langkah awal kita harus membuat 3 persamaan dengan 3 variabel. Untuk itu kita harus mengeliminasi salah saru variabel. Untuk contoh ini misalnya saya akan mengeliminasi d

Sekarang kita pilih persamaan (1) dan (2) untuk dijumlahkan

2a + 3b + c + d = 12

a + b + 5c — d = 15__________ +

3a + 4b + 6c = 27 …………………………………….(5)

Selanjutnya persamaan (2) dengan (3)

a + b + 5c — d = 15 |4|→ 4a + 4b + 20c — 4d = 60

3a + 2b + 2c + 4d = 9 |1|→ 3a + 2b + 2c + 4d = 9 ______ +

. 7a + 6b + 22c = 69 …………………….(6)

Sekarang persamaan (2) dengan (4)

a + b + 5c — d = 15 |2|→ 2a + 2b + 10c — 2d = 30

4a — b + 3c + 2d = 5 |1|→ 4a — b + 3c + 2d = 5 +

. 6a + b + 13c = 35 …………………….(7)

Sekarang kita telah memiliki sistem persamaan linear 3 variabel, yaitu persamaan (5), (6), dan (7). Dari sini akan kita bentuk menjadi 2 persamaan tanpa variabel b

sekarang kita pilih persamaan (7) dan (5)

6a + b + 13c = 35 |4| → 24a + 4b + 52c = 140

3a + 4b + 6c = 27 |1| → 3a + 4b + 6c = 27 _

. 21a + 46c = 113 …………….(8)

sekarang kita ambil persamaan (7) dan (6)

6a + b + 13c = 35 |6| → 36a + 6b + 78c = 210

7a + 6b + 22c = 69 |1|→ 7a + 6b + 22c = 69 _

. 29a + 56c = 141 ……………..(9)

Langkah terakhir kita eliminasi persamaan (8) dan (9)

21a + 46c = 113 |29| → 609a + 1334c = 3277

29a + 56c = 141 |21| → 609a + 1176c = 2961 _

. 158c = 316

. c = 2

21a + 46c = 113

21a + 46.2 = 113

21a + 92 = 113

21a = 21 → a = 1

 

6a + b + 13c = 35

6.1 + b + 13.2 = 35

6 + b + 26 = 35

32 + b = 35 → b = 3

 

2a + 3b + c + d = 12

2.1 + 3.3 + 2 + d = 12

2 + 9 + 2 + d = 12

13 + d = 12

d = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 3, 2, -1)}

Sistem persamaan linear 3 variabel, merupakan himpunan 3 buah persamaan dengan variabel sebanyak 3. Bentuk ini satu tingkat lebih rumit dibandingkan sistem persamaan linear 2 variabel

Metoda meyelesaikan persamaan

1. Metoda Eliminasi

2. Metoda subtitusi

3. Metoda determinan

4. Metoda matriks

5. Metoda operasi baris elementer

 

Metoda Eliminasi

Supaya lebih mudah langsung saja kita masuk ke contoh-contoh

Contoh soal 1 :

2x + 3y — z = 20

3x + 2y + z = 20

x + 4y + 2z = 15

Jawab :

Ketiga persamaan bisa kita beri nama persamaan (1), (2), dan (3)

2x + 3y — z = 20 ………………………..(1)

3x + 2y + z = 20 ………………………..(2)

x + 4y + 2z = 15 ………………………..(3)

Sistem persamaan ini harus kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel. Untuk itu kita eliminasi variabel z

Sekarang persamaan (1) dan (2) kita jumlahkan

2x + 3y — z = 20

3x + 2y + z = 20_____ +

5x + 5y = 40

x + y = 8 ………………….(4)

Selanjutnya persamaan (2) dikali (2) dan persamaan (3) dikali (1) sehingga diperoleh

6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15____ _

5x = 25

x = 5

Nilai x ini kita subtitusi ke persamaan (4) sehingga

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

selanjutnya nilai x dan y yang ada kita subtitusikan ke persamaan (2)

3x + 2y + z = 20

3.5 + 2.3 + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, -1)}

 

Contoh soal 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x + 4y — 3z = 3

2x — y + 4z = 21

5x + 2y + 6z = 46

Jawab :

Agar lebih mudah, ketiga persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)

3x + 4y — 3z = 3 …………………………….(1)

2x — y + 4z = 21 …………………………….(2)

5x + 2y + 6z = 46 …………………………….(3)

Selanjutnya persamaan (1) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 4, sehingga diperoleh

3x + 4y — 3z = 3 |1| → 3x + 4y — 3z = 3

2x — y + 4z = 21 |4| → 8x — 4y+16z = 84 +

. 11x + 13z = 87 ……………..(4)

Berikutnya persamaan (3) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 2, sehingga diperoleh

5x + 2y + 6z = 46 |1| → 5x + 2y + 6z = 46

2x — y + 4z = 21 |2| → 4x — 2y + 8z = 42 +

. 9x + 14z = 88 …………..(5)

Sekarang persamaan (5) dikali 11 dan persamaan (4) dikali 9 sehingga diperoleh

9x + 14z = 88 |11| 99x +154z = 968

11x + 13z = 87 |9| 99x + 117z=783 _

. 37z = 185

. z = 5

Nilai z=5 kita subtitusi ke persamaan (4)

11x + 13z = 87

11x + 13.5 = 87

11x + 65 = 87

11x = 22

x = 2

Nilai x=2 dan z=5 kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga

5x +2y +6z = 46

5.2 +2y +6.5 = 46

10 + 2y + 30 = 46

2y = 6

y = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 5)}

 

Metoda subtitusi

Contoh soal 3

Himpunnan penyelesaian sistem persamaan

2x + 5y + 4z = 28

3x — 2y + 5z = 19

6x + 3y — 2z = 4

adalah …

Jawab :

Sekarang setiap persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)

2x + 5y + 4z = 28 ……………………………………..(1)

3x — 2y + 5z = 19……………………………………….(2)

6x + 3y — 2z = 4…………………………………………(3)

Persamaan (1) bisa kita ubah sebagai berikut

2x + 5y + 4z = 28

4z = 28 — 2x — 5y

………………………………………..(4)

Selanjutnya persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (2) sehingga

3x — 2y + 5z = 19

Jika kedua ruas dikali dengan 4 maka diperoleh

12x — 8y + 140 — 10x — 25y = 76

2x -33y = -64 ……………………………………….(5)

Sekarang persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga

6x + 3y — 2z = 4

Jika kedua ruas dikali 4 maka

24x + 12y — 56 + 4x + 10y = 16

28x + 22y = 72

14x + 11y = 36

11y = 36 — 14x

…………………………………………(6)

Sekarang persamaan (6) kita subtitusikan ke persamaan (5) sehingga

2x -33y = -64

2x — 108 + 42x = -64

44x = 44

x=1

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(1, 2, 4)}