Super Matematika

Turunan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :

Jika U dan V adalah fungsi dan c adalah konstanta

f(x) = U + V → f'(x) = U’+V’
f(x) = U — V → f'(x) = U’-V’
f(x) = c.U → f'(x) = c.U’
f(x) = U.V → f'(x)=U’V + UV’

Bukti :

Untuk f(x) = U + V

f(x) = U(x) + V(x)

f ‘(x) =U'(x) + V'(x)

f ‘(x) =U(x) + V(x)

 

 

Untuk f(x) = U — V

f(x) = U(x) — V(x)

f ‘(x) = U'(x) — V'(x)

f ‘(x) = U’-V’

 

Untuk f(x) = c.U

f(x) = c.U(x)

f ‘(x) = c U'(x)

f ‘(x) = cU’

 

Untuk f(x) = UV

f(x) = u(x)V(x)

f ‘(x)= U'(x)V(x+0) + U(x)V'(x)

f ‘(x)= U'(x)V(x) + U(x)V'(x)

f ‘(x)= U’V + UV’

 

Turunan menyatakan perubahan suatu fungsi dalam sesaat. Perhatikan gambar berikut :

Dari gambar bisa diperoleh

Jika nilai h diperkecil maka bisa diperoleh

Bentuk terakhir ini yang didefinisikan sebagai turunan

Untuk lebih jelasnya marilah kita perhatikan contoh berikut

 

Contoh soal 1

Tentukan turunan pertama dari f(x) = x²

Jawab :

f(x) = x²

maka f(x+h) = (x+h)²

Jadi, turunan pertama dari f(x) = x² adalah f'(x) = 2x

 

Contoh soal 2

Tentukan turunan pertama dari f(x) = x³

Jawab :

f(x) = x³

maka f(x+h) = (x+h)³

Dengan demikian

Dengan demikian turunan pertama dari f(x) = x³ adalah f'(x) = 3x²

 

Contoh 3

Tentukan turunan pertama dari

Jawab :

Jadi, turunan pertama dari f(x) = 1/x adalah

 

Contoh 4

Tentukan turunan pertama dari

Jawab

Jadi jika

maka

 

Dari contoh 1, 2, 3 dan 4 bisa diambil kesimpulan bahwa

f(x) = xⁿ maka f'(x) = nx^n-1

 

Contoh 5

Turunan pertama dari f(x) = sin x adalah …

Jawab :

 

Cara II

 

Jadi, turunan pertama dari f(x) = sin x adalah f ‘(x) = cos x

 

Contoh 6

Turunan pertama dari f(x) = cos x adalah …

Jawab :

 

Jadi, turunan pertama dari f(x) = cos x adalah f ‘(x) = -sin x

 

Contoh 7

Turunan pertama dari f(x) = tan x adalah …

Jawab :

Sebelum kita lanjutkan , kita ingat dulu rumus tangen

Jadi

 

Jadi, turunan pertama dari f(x) = tan x adalah f ‘(x) = sec² x

 

Contoh 8

Turunan pertama dari f(x) = cot x adalah …

Jawab :

Sebelum kita lanjutkan, perhatikan rumus tangen dan cotangen berikut ini

Jika bagian atas dan bawah kita kali dengan cot A.cot B maka

Jika B kita ganti dengan x+h dan A kita ganti dengan x maka

Dengan demikian f ‘(x) menjadi

Jadi, turunan dari f(x) = cot x adalah f ‘(x) = csc² x

 

Contoh 9

Turunan dari f(x) = sec x adalah …

Jawab :

Jika pembilang dan penyebut dikali cos x.cos (x+h) maka diperoleh

Jadi, turunan dari f(x) = sec x adalah f ‘(x) = sec x tan x

 

Contoh 10

Turunan dari f(x) = csc x adalah …

Jawab :

Jika pembilang dan penyebut dikali dengan sin x . sin (x+h) maka