Super Matematika

Fungsi f(x) dikatakan naik jika f'(x) > 0
Fungsi f(x) dikatakan turun jika f'(x) < 0
Fungsi f(x) dikatakan stasioner jika f'(x) = 0
Fungsi f(x) dikatakan tidak naik jika f'(x) ≤ 0
Fungsi f(x) dikatakan tidak turun jika f'(x) ≥ 0

 

Contoh soal 1 :

Tentukan nilai x agar fungsi f(x) = x² — 8x — 9 naik

Jawab :
Agar naik maka f'(x) > 0
2x — 8 > 0
x > 4

 

Contoh soal 2 :

Tentukan nilai x agar fungsi f(x) = -2x² + 12x — 5 turun

Jawab :
Agar turun maka f'(x) < 0
-4x + 12 < 0
-4x < -12
x > 3

 

Contoh soal 3 :

Fungsi f(x) = x³ — 9x² + 15x — 17 akan naik pada interval ….
Jawab :
Syarat fungsi naiuk adalah f'(x) > 0
3x² — 18x + 15 > 0
x² — 6x + 5 > 0
(x -1)(x — 5) > 0

x < 1 atau x > 5

 

Contoh soal 4 :

Nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) = x⁴ — 18x² turun adalah …
Jawab :
Agar turun maka f'(x) < 0
4x² — 36x < 0
x³ — 9x < 0
x(x²-9) < 0
x(x — 3)(x + 3) < 0

x < -3 atau 0 < x < 3

 

Contoh soal 5 :

Nilai-nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) = -x³ + 6x² + 36x tidak turun adalah
Jawab :
Agar tidak turun maka f'(x) ≥ 0
-3x² + 12x + 36 ≥ 0
x² — 4x — 12 ≤ 0
(x-6)(x+2) ≤ 0

-2 ≤ x ≤ 6

Contoh soal 6 :

Batas-batas nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) = x² — 4x³ + 4x² — 10 tidak naik adalah ….

Jawab :

4x³  — 12x² + 8x ≤ 0
x³  — 3x² + 2x ≤ 0
x(x² — 3x + 2) ≤0
x(x -1)(x -2) ≤ 0

x ≤ 0 atau 1 ≤ x ≤ 2

Ada beberapa cara untuk menentukan persamaan garis singgung. Mungkin ada yang memakai diskriminan atau rumus-rumus tertentu. Pada kesempatan kali ini saya akan membahas persamaan garis singgung dengan memakai turunan.

Ilustrasi untuk persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) bisa digambarkan sebagai berikut

 

Nilai x₁ = absis sedangkan y₁ adalah ordinat. Hubungan antara absis dengan ordinat bisa dinyatakan dengan persamaan kurva, yaitu

y₁ = f(x₁)

Kemiringan garis (gradien =m) bisa dinyatakan dengan turunan y=f(x) di x₁

m = f ‘(x₁)

Selanjutnya persamaan garis singgung dengan gradien m dan melalui (x₁, y₁) bisa dinyatakan dengan

y — y₁ = m(x — x₁)

Contoh soal 1

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ — 3x³ + 6x + 7 di titik yang berabsis 2

Jawab :

x = 2
y = x⁴ — 3x³ + 6x + 7
y = 2⁴ — 3.2³ + 6.2 + 7 = 16 — 24 + 12 + 7 = 11
m = y’ = 4x³ — 9x² + 6 = 4.2³ — 9.2² + 6 = 32 — 36 + 6 = 2

y — y₁ = m(x — x₁)
y — 11 = 2 (x — 2)
y — 11 = 2x — 4
y = 2x + 7

 

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 2x³ — 24 di titik yang berordinat 30

Jawab :

y = 30
2x³ — 24 = 30
2x³ = 54
x³ = 27
x = 3
m = y’ = 6x² = 6.3² = 54

y — y₁ = m(x — x₁)
y — 30 = 54 (x — 3)
y — 30 = 54x — 162
y = 54x — 132

 

Contoh Soal 3

Persamaan garis singgung pada kurva y = 20 — x⁴ yang bergradien 32 adalah …

Jawab :

m = 32
y’ = 32
-4x³ = 32
x³ = -8
x = -2
y = 20 — x4 = 20 -(16) = 4

 

y — y₁ = m(x — x₁)
y — 4 = 32(x + 2)
y — 4 = 32x + 64
y = 32x + 68

 

Contoh Soal 4

Persamaan garis singgung pada kurva y = x⁶ + 22 yang tegak lurus dengan garis x + 6y = 72 adalah …

Jawab :

x + 6y = 72
6y = — x + 72
y = -1/6 x + 12
m₁ = -1/6
Karena tegak lurus maka
m₁.m₂ = -1
m₂ = 6

y = x⁶ + 22
y’ = m₂
6x⁵ = 6
x⁵ = 1
x = 1
y = x⁶ + 22
y = 1⁶ + 22 = 23

y — y₁ = m(x — x₁)
y — 23 = 6(x -1)
y — 23 = 6x — 6
y = 6x + 17

 

Contoh Soal 5

Garis singgung kurva y = sin 2x di titik yang berabsis π memotong sumbu y pada koordinat …

Jawab :

x = π
y = sin 2x = sin 2π = 0
m = y’ = 2 cos 2x = 2cos 2π = 2 (-1) = -2

y — y₁ = m(x — x₁)
y — 0 = -2(x — π)
y = -2x + 2π
titik potong sumbu y → x = 0
y = 0 + π = π
Koordinat titik potong sumbu y adalah (0, π)

 

Contoh Soal 6

Persamaan garis singgung kurva y = 0,5x² — 7x + 2 yang membentuk sudut 45^o dengan sumbu x positif memotong garis y = 9 — 2x pada koordinat

Jawab :

m = tan 45^o = 1
y = 0,5x² — 7x + 2
y’ = m
x — 7 = 1
x = 8
y = 0,5x² — 7x + 2
y = 0,5.8² — 7.8 + 2
y = 32 — 56 + 2 = -22
y — y₁ = m(x — x₁)
y + 22 = 1.(x — 8)
y = x — 30

Selanjutnya kita cari titik potong antara y = 9 — 2x dengan y = x — 30
x — 30 = 9 — 2x
3x = 39
x = 13
y = x — 30 = 13 — 30 = -17

Koordinat titik potongnya (13, -17)

 

Contoh Soal 7

Garis singgung parabola y = x² + 10x + 7 di titik yang berabsis 1 menyinggung kurva y = ax³ + b di titik yang berabsis 4. Nilai b = …

Jawab :

x = 1 maka
y = x² + 10x + 7
y = 1² + 10.1 + 7 = 18
m = y’ = 2x + 10 = 2.1 + 10 = 12
y — y₁ = m(x — x₁)
y — 18 = 12 (x — 1)
y — 18 = 12x — 12
y = 12x + 6

y = ax³ + b
y’ = m
3ax² = 12
karena menyinggung di x = 4 maka
3a.4²=12
48a = 12
a = 1/4
Kurva menjadi y = 1/4 x³ + b
garis singgung y = 12x + 6
saat x = 4 maka y = 48 + 6 = 54
maka kurva y = 1/4 x³ + b melalui (4, 54)
54 = 1/4 . 4³ + b
54 = 16 + b
b = 38

 

Contoh soal 8

Garis g menyinggung kurva y = x³ — 3x² + 5x — 10 di titik potongnya dengan garis y=5. Persamaan garis lain yang sejajar g dan menyinggung kurva tersebut adalah ….

Jawab :

Titik potong kuva dengan garis y = 5
x³ — 3x² + 5x — 10 = 5
x³ — 3x² + 5x — 15 = 0
x² (x — 3) + 5(x — 3) = 0
(x² + 5)(x — 3) = 0
x² = -5 (tidak mungkin)
x = 3
m = y’ = 3x² — 6x + 5
m = 3.3² — 6.3 + 5
m = 27 — 18 + 5 = 14

Sekarang kita cari absis titik singgung garis yang lain. Karena sejajar maka gradiennya tetap 14
m = 14
y’ = 14
3x² — 6x + 5 = 14
3x² — 6x — 9 = 0
x² — 2x — 3 = 0
(x — 3)(x + 1) = 0
x = 3 (tidak memenuhi, sebab ini adalah absis titik singgung garis g)
x = -1
y = x³ — 3x² + 5x — 10
y = (-1)³ — 3(-1)² + 5(-1) — 10
y = -1 — 3 — 5 — 10 = -19
y — y₁ = m(x — x₁)
y + 19 = 14 ( x + 1)
y + 19 = 14x + 14
y = 14x — 5