Bilangan Kuadrat

 

Bilangan kuadrat adalah bilangan yang didapat dari hasil perkalian 2 bilangan rasional yang sama. Contohnya adalah

0 x 0 = 0

5 x 5 = 25

(– 3)x ( — 3) = 9

½ x ½ = ¼

Dan sebagainya

Jika bilangan kuadrat yang bulat kita susun menjadi suatu barisan maka susunannya adalah sebgai berikut

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ……dst

 

Penulisan bilangan kuadrat seringkali ditulis dalam bentuk pangkat, yaitu dengan menuliskan angka 2 di belakang bilangan dan agak ditarik ke atas.

3 kuadrat, ditulis dengan 3² , hasilnya adalah 9

10 kuadrat, ditulis dengan 10² , hasilnya adalah 100

–6 kuadrat, ditulis dengan (–6)² , hasilnya adalah 36

–½ kuadrat, ditulis dengan (–½)² , hasilnya adalah ¼

 

Beberapa catatan penting untuk bilangan kuadrat

• Kuadrat dari bilangan ganjil hasilnya pasti ganjil
• Kuadrat dari bilangan genap hasilnya pasti genap
• Kuadrat dari bilangan positif adalah bilangan positif
• Kuadrat dari bilangan negatif adalah bilangan positif
• Setiap bilangan kuadrat ³ 0 (tidak ada bilangan kuadrat yang negatif)
• Kuadrat dari bilangan bulat pasti habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4
• Tidak ada bilangan kuadrat yang bersisa 2 jika dibagi 4
• Tidak ada bilangan kuadrat yang bersisa 3 jika dibagi 4
• Jika bilangan bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4 maka bilangan itu pasti bukan bilangan kuadrat
• Kuadrat dari bilangan bulat pasti habis dibagi 3 atau bersisa satu jika dibagi 3
• Tidak ada bilangan kuadrat yang bersisa 2 jika dibagi 3

 

 

Membedakan antara x² dengan –x²

x² merupakan bilangan kuadrat, sedangkan –x² bukanlah bilangan kuadrat

 

Jika x = 7 maka x² = 7² = 7×7 = 49

Jika x = –8 maka x² = (–8)² = (–8)x(–8) = 64

Jika x = 11 maka –x² = –11² = –11 x 11 = –121

Jika x = –12 maka –x² = (–12)² = –(–12)x(–12) = –144

 

Jika x tidak nol maka x² selalu positif

Jika x tidak nol maka –x² selalu negatif

 

Kuadrat dari bilangan bulat pasti habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4, dengan kata lain jika bilangan bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4 maka bilangan itu pasti bukan bilangan kuadrat

 

Jika x bilangan genap maka x bisa kita misalkan 2n

Maka x² = (2n)² = 4n²

Artinya kuadrat dari bilangan genap pasti habis dibagi 4

 

Jika x bilangan ganjil maka x bisa kita misalkan 2n + 1

Maka x² = (2n+1)² = 4n² + 4n + 1 = 4(n² + n) + 1

Artinya kuadrat dari bilangan ganjil pasti bersisa 1 jika dibagi 4

Antara Persegi dan Bujursangkar

 

Persegi atau bujursangkar adalah suatu segi empat yang memiliki 4 sisi sama panjang dan keempat sudutnya selalu 90^o.

 

Jika segi empat hanya memiliki 4 sisi yang sama, tetapi tidak ada persyaratan memiliki keempat sudutnya selalu 90^o maka bangun itu disebut belah ketupat.

 

Sebelum tahun 2000 istilah persegi tidak dipakai, yang dipakai adalah istilah bujursangkar. Karena itulah jika kita melihat soal Ebtanas (istilah UN zaman dulu) ataupun soal UMPTN, soal SIPENMARU dan lain-lain yang diterbitkan sebelum tahun 2000, tidak ada istilah persegi. Yang ada adalah istilah bujursangkar.

 

Saya sendiri kurang setuju dengan istilah persegi. Saya lebih setuju istilah bujursangkar. Mengapa begitu?

 

Mari saya jelaskan :

Istilah persegi panjang sudah dipakai sejak dulu. Persegi panjang adalah segi empat yang yang memiliki sudut masing-masing besarnya 90^o.

Artinya istilah bujursangkar bisa didefinisikan dengan lebih singkat.

Bujursangkar adalah persegi panjang yang keempat sisinya sama.

Dari definisi ini jelaslah bahwa setiap bujursangkar adalah pasti termasuk persegi panjang. Tapi tidak setiap persegi panjang merupakan bujursangkar. Dalam diagram Venn penggambarannya adalah sebagai berikut

(artinya setiap rumus-rumus pada persegi panjang bisa dipakai untuk bukursangkar, apakah itu rumus keliling maupun rumus luasnya)

• Keliling bujursangkar adalah 4s (4 kali sisi) sedangkan pada persegi panjang adalah 2(p + l)

Maka s = 7, sehingga kelilingnya adalah 4s = 4 x 7 = 28

Jika kita pakai rumus pada persegi panjang maka

Panjang p = 7 dan lebar l = 7

maka keliling = 2(p + l) = 2(7 + 7) = 2×14 = 28

Hasilnya sama bukan ?

 

• Luas bujursangkar adalah s x s, luas persegi panjang adalah p x l

Karena s = 8 maka luasnya s x s = 8 x 8 = 64

Jika kita pakai rumus pada persegi panjang maka

Panjang p = 8 dan lebar l = 8

Maka luas = p x l = 8 x 8 = 64

Hasilnya sama bukan ?

 

Jika istilah bujursangkar dipakai untuk menggantikan istilah persegi, maka hasilnya akan menjadi aneh.

Sebelum saya bahas lebih lanjut perhatikan istilah-istilah berikut

• Tahukah kamu istilah Jawa dan Jawa Timur ? Mana yang lebi sepesifik ? Istilah Jawa Timur tentunya lebih spesifik. Istilah Jawa dipakai untuk pulau Jawa, sedangkan Jawa Timur dipakai untuk Pulau Jawa di bagian Timur.

• Tahukah kamu istilah ayam dan ayam kampung ? mana yang lebih spesifik ? Ayam kampung tentunya lebih spesifik. Apalagi jika kita buat istilah ayam kampung jantan, tentunya lebih spesifik lagi.

Dari kedua contoh nampak bahwa istilah yang lebih panjang biasanya akan lebih spesifik. Begitu juga harusnya persegi panjang lebih spesifik dibandingkan dengan istilah persegi. Namun kenyataannya istilah persegi dipakai untuk menggantikan bujursangkar. Maka yang terjadi adalah sebagai berikut :

Hasilnya jadi janggal bukan ?