Limit

Limit Dengan Subtitusi

Subtitusi artinya mengganti. Jadi di sini kita akan melakukan penggantian. Dengan melakukan penggantian ini, soal yang sebelumnya rumit akan terlihat menjadi lebih sederhana.

 

Contoh soal 1 :

Jawab :

kita misalkan y = sin x

karena x –> π/2 maka y –> 1

(sebab jika x = π/2 maka y = sin x = sin π/2 = 1)

Dengan demikian soal limit menjadi

= 1 + 2 = 3

 

Contoh soal 2 :

Jawab :

misalkan tan x = y

karena x –> π/4 maka y –> 1

(sebab jika x =π/4 maka y = tan x = tan π/4 = 1)

soal bisa berubah menjadi

 

Contoh Soal 3 :

Jawab :

Kita misalnykan y = cos x

(jika x = 0 maka y = cos x = cos 0 = 1)

karena x –> 0 maka y –> 1

Sehingga soal di atas bisa kita tulis menjadi

=(1 + √1)(1 + 1 + 1) = (2)(3) = 6

 

Cala lain adalah menggunakan metoda L houpital

(karena bentuknya 0/0 maka kita bisa menurunkan pembilang sekaligus penyebut

 

Contoh Soal 4 :

Jawab :

sekarang kita coba misalkan y = sin x

karena x –> π/6 maka y –> ½

Soal menjadi

 

Cara kedua kita gunakan L houpital

 

Penggunaan subtitusi ini tidak hanya di limit trigonometri, tetapi juga di limit yang lain. Untuk lebih jelasnya bisa kita lihat contoh berikut :

 

Contoh Soal 5 :

Jawab :

Soal ini merupakan kasus bentuk

Soal bisa diubah menjadi berikut :

Agar bentuk ini kelihatan lebih ramah maka kita misalkan 2x = y , sehingga bentuk eksponen berubah menjadi bentuk aljabar biasa

karena x –> 3 maka y –> 8

Jika 2x = y kita kuadratkan maka

(2x)2 = y2

4x = y2

Bentuk limit eksponen di soal bisa berubah menjadi

 

Contoh Soal 6 :

Jawab :

misalkan

sehingga y2 = x — 1 atau x = y2 + 1

karena x –> 5 maka y –> 2

sehingga soal limit menjadi

 

 

Beberapa artikel yang berkaitan dengan limit

antara mendekati nol dan tak hingga
limit akar
limit aljabar
limit bentuk akar
limit bilangan natural
limit memakai eksponen
limit mendekati tak hingga
limit sin x/x dengan x mendekati 0
limit trigonometri
limit trigonometri tidak mendekati nol
limit yang mengalami perputaran

Limit Yang Mengalami Perputaran

Pernahkah kamu mengerjakan soal limit yang mengalami perputaran (looping) ? Maksudnya ketika kita mencoba mengerjakan soal limit ini maka di dalam pembahasan kita akan menemukan soalnya lagi.

misalnya jika terdapat soal

maka bentuk ini jika dikerjakan akan mengalami looping (perputaran). Mungkin kamu tidak menemukan looping itu ketika mengerjakan soal ini karena menggunakan cara L houpital ( turunan ) atau menggunakan hampiran atau deret maclaurin.

Jika cara yang ditempuh adalah seperti yang disebutkan tadi, maka kamu tidak akan menemukan bentuk loopingnya. Agar menemukan bentuk loopingnya maka harus dikerjakan dengan cara-cara limit trigonometri.

 

Contoh soal 1 :

Hitunglah nilai limit dari

Jawab :

kita gunakan identitas trigonometri, yaitu

cos 3A = 4 cos3 A — 3 cos A

sin 3A = 3 sin A – 4 sin3 A

karena soal limit dalam sinus maka yang kita gunakan adalah rumus sin 3A

Sekarang 3A kita ganti dengan x

3A = x maka A = ⅓x

sehingga

sin x = 3 sin ⅓x — 4 sin3 ⅓x

soal limit bisa kita kerjakan sebagai berikut. Terlebih dahulu kita misalkan hasil hitungan limit adalah B, jadi

 

……………………………..(1)

 

supaya lebih mudah kita misalkan a = ⅓x atau x = 3a, sehingga menjadi

………(2)

sesuai persamaan 1 maka

…………………………(3)

Sehingga persamaan (2) menjadi

Jika kedua ruas dikali dengan 27 maka

3B + 4 = 27B

4 = 24 B

Jadi

 

 

Contoh Soal 2 :

Hitunglah limit dari

Jawab :

kita mingenal rumus trigonometri sudut rangkap sebagai berikut

sin 2A = 2 sin A cos A dan cos 2A = 2 cos2 A — 1

Dengan mengganti A = ½x maka

sin x = 2 sin ½x cos ½x dan cos x = 2 cos2 ½x — 1

Langkah selanjutnya adalah hasil jawaban soal kita misalkan L sehingga

……………………..(1)

kita misalkan x = 2a maka persamaan menjadi

…(2)

Karena

dan menurut persamaan (1)

maka persamaan 2 menjadi

Jika kedua ruas dikali 4 maka

L + 1 = 4L

1 = 3L

Jadi

 

 

Beberapa artikel yang berkaitan dengan limit

antara mendekati nol dan tak hingga
limit akar
limit aljabar
limit bentuk akar
limit bilangan natural
limit dengan subtitusi
limit memakai eksponen
limit mendekati tak hingga
limit sin x/x dengan x mendekati 0
limit trigonometri
limit trigonometri tidak mendekati nol