Super Matematika

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap titik tertentu sama dengan garis tertentu

Yang dimaksud titik tertentu adalah titik pusat, sedangkan garis tertentu adalah garis direktris

Untuk membuat persamaan parabola, perhatikan gambar grafik parabola berikut

Jarak parabola ke direktris = Jarak parabola ke fokus
DP = PF

(x + p)² +0² = (x-p)² + y²
x² + 2px + p² = x² — 2px + p² + y²
4px = y²
y² = 4px

Jadi, persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan membuka ke kanan adalah

y² = 4px

Dengan cara yang sama kita bisa membuat persamaan parabola berikut

persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan membuka ke kiri adalah

y² = -4px

persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan membuka ke atas adalah

x² = 4py

persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan membuka ke bawah adalah

x² = -4py

 

Contoh 1 :

Diketahui parabola y² = 12x. Tentukan
a. Koordinat titik fokus
b. Persamaan garis direktris

Jawab :

y² = 12x
y² = 4px
4p = 12 maka p = 3

Koordinat titik fokus adalah (3, 0)
Persamaan direktris adalah x = -3

Contoh 2 :

Diketahui parabola y² = -16x. Tentukan
a. Koordinat titik fokus
b. Persamaan garis direktris

Jawab :

Parabola y² = -16x membuka ke kiri
Bentuk umumnya adalah y² = -4px
4p = 16 sehingga p = 4

Koordinat titik fokus adalah (-4, 0)
Persamaan direktris adalah x = 4

 

Contoh 3 :

Diketahui parabola x² = 24y. Tentukan
a. Koordinat titik fokus
b. Persamaan garis direktris

Jawab :

Parabola x² = 24y membuka ke atas
Bentuk umumnya adalah x² = 4py
4p = 24 sehingga p = 6

Koordinat titik fokus adalah (0, 6)
Persamaan direktris adalah y = -6

 

Contoh 4 :

Diketahui parabola x² = -20y. Tentukan
a. Koordinat titik fokus
b. Persamaan garis direktris

Jawab :

Parabola x² = -20y membuka ke bawah
Bentuk umumnya adalah x² = -4py
4p = 20 sehingga p = 5

Koordinat titik fokus adalah (0, -5)
Persamaan direktris adalah y = 5

 

Contoh 5 :

Sebuah parabola memiliki puncak (0, 0) dan memiliki koordinat fokus (0,2). Persamaan parabola tersebut adalah ….

Jawab :

Karena koordinat fokus di atas puncak maka parabola membuka ke atas, sehingga bentuk umumnya adalah x² = 4py.

koordinat fokus (0, p) dengan p = 2, sehingga persamaannya menjadi

x² = 8y

 

Contoh 6 :

Parabola memiliki persamaan direktris x = 7 dan memiliki puncak (0, 0). Persamaan parabola adalah …

Jawab :

Karena direktris di sebelah kanan puncak maka parabola membuka ke kiri, sehingga bentuk umum persamaan adalah y² = -4px.

Persamaan direktris x = p dengan p = 7 sehingga persamaan parabola menjadi

y² = -28x

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik tertentu.

Yang dimaksud dengan titik tertentu adalah titik pusat, jaraknya sama disebut jari-jari

Pada segitiga siku-siku yang ada di gambar, berlaku pythagoras, yaitu :

x² + y² = r²

Bentuk teakhir ini disebut persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari r

Jika lingkaran berpusat di (a, b) maka bisa digambar sebagai berikut

dengan memakai pythagoras kita akan mendapatkan

(x — a)² + (y — b)² = r²

 

Selanjutnya jika persamaan ini kita uraikan maka diperoleh

x² — 2ax + a² + y² — 2by + b² = r²

x² + y² — 2ax — 2by + a² + b² — r² = 0

Bentuk ini bisa kita ubah sebagai berikut

x² + y² + Ax + By + C = 0

dengan

A = -2a → a = -1/2 A

B = -2b → b = -1/2 B

a² + b² — r² = C

r² =a² + b² — C

Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran adalah

x² + y² + Ax + By + C = 0

dengan Pusat

dan jari-jari

 

Contoh soal 1

Persamaan lingkaran dengan pusat (3, 6) dengan jari-jari 7 adalah ….

Jawab :

(a, b) = (3, 6) dengan R = 7
(x — a)² + (y — b)² = R²
(x — 3)² + (y — 6)² = 7²
x² — 6x + 9 + y² — 12y + 36 = 49
x² + y² — 6x — 12y — 4 = 0

 

Contoh soal 2

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² + 8x — 6y — 24 = 0

 

Jawab :

A = 8 B = -6 C = -24

Pusat

Jari-Jari

 

Contoh soal 3 :

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2,-5) dan menyinggung sumbu y

Jawab :

Pusat (a, b) = (2, -5) dan R = 2 maka
(x — a)² + (y — b)² = R²
(x — 2)² + (y + 5)² = 2²
x² — 4x + 4 + y² + 10y + 25 = 4
x²+y²-4x + 10y + 25 =0

 

Contoh soal 4 :

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2,-5) dan menyinggung sumbu y

Jawab :

Pusat (a, b) = (2, -5) dan R = 5 maka
(x — a)² + (y — b)² = R²
(x — 2)² + (y + 5)² = 5²
x² — 4x + 4 + y² + 10y + 25 = 25
x²+y²-4x + 10y + 4 =0

 

Contoh soal 5 :

Persamaan lingkaran (2t -3)x² + (9-t)y² +50x — 40y -115 = 0 memiliki pusat dan jari-jari …

 

Jawab :

agar persamaan di atas menjadi persamaan lingkaran maka

koefisien x² = koefisien y²

2t — 3 = 9 — t

3t = 12

t = 4

sehingga

5x² + 5y² +50x — 40y -115 = 0

x² + y² +10x — 8y -23 = 0

A = 10 B = -8 C = -23

Pusat

Jari-Jari

 

Contoh soal 6 :

Jika A (-3, -5) dan B(7, 1) maka persamaan lingkaran dengan diameter AB adalah ….

Jawab :

Pusat

(x-a)² +(y-b)² = R²
(x-2)² +(y+2)² = R²
Lingkaran melalui (7, 1) sehingga
(7-2)² +(1+2)² = R²
25 + 9 = R²
R² = 41
Jadi persamaan lingkarannya adalah
(x-2)² +(y+2)² = 41
x² — 4x + 4 + y² + 4y + 4 = 41
x² + y² — 4x + 4y — 33 = 0