Super Matematika

Hubungan antara garis dan lingkaran ada 3 macam

1. Berpotongan di dua titik =====> D > 0

2. Bersinggungan ==========> D = 0

3. Tidak Berpotongan ========> D < 0

dengan D = b² — 4ac , disebut diskriminan

Pada bagian ini kita akan fokus membahas saat lingkaran dan garis saling bersinggungan, jadi D = 0

 

Contoh soal 1 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 80 yang bergradien 2.

Jawab :

Gradien biasa ditulis dengan m, berarti m = 2

Persamaan umum garis adalah y = mx + n maka y = 2x + n

Persamaan garis ini kita subtitusi ke lingkaran

x² + y² = 80

x² + (2x + n)² = 80

x² + 4x² + 4nx + n‑ = 80

5x² + 4nx + n² — 80 = 0

 

Syarat bersinggungan :

D = 0

b² — 4ac = 0

(4n)² — 4.5(n² — 80) = 0

16n² — 20n² + 1600 = 0

– 4n² + 1600 = 0

n² — 400 = 0

(n + 20)(n — 20) = 0

n = — 20 atau n = 20

Jadi persamaan garis singgungnya

y = 2x — 20 atau y = 2x + 20

 

 

Contoh soal 2 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 98 yang membentuk sudut 45^o dengan sumbu x positif

Jawab :

Jika sudut dengan sumbu x positif adalah 45^o maka gradien bisa diperoleh dari

m = tan 45^o = 1

Persamaan garis :

y = mx + n

y = x + n

Garis ini kita subtitusikan ke lingkaran

x² + y² = 98

x² + (x + n)² = 98

x² + x² + 2nx + n² = 98

2x² + 2nx + n² — 98 = 0

 

Karena bersinggungan maka

D = 0

b² — 4ac = 0

(2n)² — 4.2.(n² — 98) = 0

4n² — 8n² + 784 = 0

– 4n² + 784 = 0

n² — 196 = 0

(n + 14)(n — 14) = 0

n = –14 atau n = 14

Jadi persamaan garis singgungnya

y = x — 14 atau y = x + 14

 

Contoh soal 3 :

Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 90 yang sejajar dengan garis 6x — 2y = 5 adalah …

Jawab :

Dua garis akan sejajar jika gradiennya sama

Untuk mencari gradien garis 6x — 2y + 5 = 0 makagaris kita ubah menjadi

6x + 5 = 2y

y = (6x + 5)/2

y = 3x + 5/2

sehingga m = 3

Karena garis sinngung sejajar dengan garis ini maka gradien yang kita pakai di garis singgung adalah

m = 3

maka persamaan garisnya

y = 3x + n

Persamaan garis ini kita subtitusikan ke lingkaran

x² + (3x + n)² = 90

x² + 9x² +6nx + n² — 90 = 0

10x² + 6nx + n² — 90 = 0

Karena bersinggungan maka

D = 0

b² — 4ac = 0

(6n)² — 4.10(n² — 90) = 0

36n² — 40n² + 3600 = 0

– 4n² + 3600 = 0

n² – 900 = 0

(n + 30)(n — 30) = 0

n = — 30 atau n = 30

Jadi persamaan garisnya

y = 3x — 30 atau y = 3x + 30

 

 

Contoh soal 4 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 68 yang tegak lurus dengan x + 4y = 12

Jawab :

x + 4y = 12

4y = — x + 12

y = –¼ x + 3

maka m₁ = — ¼

Karena saling tegak lurus berlaku

m₁.m₂ = –1

– ¼ .m₂ = –1

m₂ = 4

maka persamaan garis singgungya

y = 4x + n

Garis ini kita subtitusi ke lingkaran

x² + y² = 68

x² + (4x + n)² = 68

x² + 16x² + 8nx + n² = 68

17x² + 8nx + n² — 68 = 0

Karena bersinggungan maka

D = 0

b² — 4ac = 0

(8n)² — 4.17(n² — 68) = 0

64n² — 68n² + 4624 = 0

– 4n² + 4624 = 0

n² — 1156 = 0

(n + 34)(n — 34) = 0

n = — 34 atau n = 34

Jadi, persamaan garisnya

y = 4x — 34 atau y = 4x + 34

 

 

Contoh Soal 5 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 40 yang melalaui (0, 20)

Jawab :

Persamaan garis yang melalui (x₁, y₁) adalah

y — y₁ = m(x — x₁)

Persamaan garis yang melalui (0, 20) adalah

y — 20 = m(x — 0)

y = mx + 20

 

Selanjutnya garis ini kita subtitusikan ke lingkaran

x² + y² = 40

x² + (mx + 20)² = 40

x² + m²x² + 40mx + 400 = 40

(1 + m²)x² + 40mx + 360 = 0

 

Karena bersinggungan maka

D = 0

b² — 4ac = 0

(40m)² — 4(1 + m²) . 360 = 0

1600m² — 1440 — 1440m² = 0

160m² — 1440 = 0

m² — 9 = 0

(m + 3)(m — 3) = 0

m = — 3 atau m = 3

Jadi, persamaan garisnya

y = — 3x + 20 atau y = 3x + 20

 

 

Contoh Soal 6 :

Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 10 yang ditarik dari titik (2, 4) adalah …

Jawab :

Persamaan garis yang melalui (2, 4) bisa ditulis

y — 4 = m(x — 2)

y — 4 = mx — 2m

y = mx — 2m + 4

 

Garis ini kita subtitusikan ke lingkaran

x² + y² = 10

x² + (mx — 2m + 4)² = 10

x² + m²x² + 4m² + 16 — 4m²x + 8mx — 16m = 10

(1 + m²)x² + (8m — 4m²)x + 4m² — 16m + 6 = 0

 

Syarat bersinggungan adalah

D = 0

b² — 4ac = 0

(8m — 4m²) — 4(1 + m²)(4m² — 16m + 6) = 0

64m² — 64m³ + 16m⁴ — 4(4m² — 16m + 6 + 4m⁴ — 16m³ + 6m²) = 0

64m² — 64m³ + 16m⁴ — 16m² + 64m — 24 — 16m⁴ + 64m³ — 24m² = 0

24m² + 64m — 24 = 0

3m² + 8m — 3 = 0

(m + 3)(3m — 1) = 0

m = –3 atau m = 1/3

 

Untuk m = –3

y = mx — 2m + 4

y = 3x + 6 + 4

3x — y + 10 = 0

 

Untuk m = 1/3

y = mx — 2m + 4

3y = 3mx — 6m + 12

3y = x — 2 + 12

x — 3y + 10 = 0

 

 

Contoh Soal 7 :

Persamaan garis singgung pada lingkaran (x — 3)² + (y + 4)² = 72 yang membentuk sudut 135^o dengan sumbu x positif adalah …

 

Jawab :

m = tan 135^o = –1

y = mx + n

y = — x + n

Persamaan ini kita subtitusikan ke

(x — 3)² + (y + 4)² = 72

(x — 3)² + (– x + n + 4)² = 72

x² — 6x + 9 + x² + n² + 16 — 2nx — 8x + 8n = 72

2x² — (2n + 14)x + n² + 8n — 47 = 0

 

Syarat bersinggungan adalah

D = 0

b² — 4ac = 0

(2n + 14)² — 4.2.( n² + 8n — 47) = 0

4n² + 56n + 196 — 8n² — 64n + 376 = 0

– 4n² — 8n + 572 = 0

n² + 2n — 143 = 0

(n + 13)(n — 11) = 0

n = — 13 atau n = 11

 

Untuk n = – 13

y = — x + n

y = — x — 13

x + y + 13 = 0

 

Untuk n = 11

y = — x + n

y = — x + 11

x + y — 11 = 0

 

 

Contoh Soal 8 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² + 6x — 2y — 35 = 0 yang tegak lurus dengan x + 2y = 7

Jawab :

x + 2y = 7

2y = — x + 7

y = — ½x + 7/2

m₁ = –½

Karena saling tegak lurus maka

m₁.m₂ =  — 1

–½.m₂ =  — 1

m₂ = 2

 

Persamaan garis

y = mx + n

y = 2x + n

 

Selanjutnya garis ini kita subtitusikan ke persamaan

x² + y² + 6x — 2y — 35 = 0

x² + (2x + n )² + 6x — 2(2x + n ) — 35 = 0

x² + 4x² + 4nx + n² + 6x — 4x — 2n — 35 = 0

5x² + (4n + 2)x + n² — 2n — 35 = 0

 

Agar bersinggungan maka

D = 0

b² — 4ac = 0

(4n + 2)² — 4.5.(n² — 2n — 35) = 0

16n² + 16n + 4 — 20n² + 40n + 700 = 0

– 4n² + 56n + 704 = 0

n² — 14n — 176 = 0

(n + 8)(n — 22) = 0

n = — 8 atau n = 22

Untuk menentukan garis singgung maka nilai n ini kita subtitusikan ke persamaan

y = 2x + n

n = — 8 maka y = 2x — 8

n = 22 maka y = 2x + 22

 

 

Contoh Soal 9 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² — 8x — 2y — 3 = 0 yang ditarik dari titik (4, 11)

 

Jawab :

Persamaan garis yang melalui (4, 11) adalah

y — 11 = m(x — 4)

y = mx — 4m + 11

Garis ini kita subtitusikan ke persamaan

x² + y² — 8x — 2y — 3 = 0

x² + (mx — 4m + 11)² — 8x — 2(mx — 4m + 11) — 3 = 0

x² + m²x² + 16m² + 121 — 8m²x + 22mx — 88m — 8x — 2mx + 8m — 22 — 3 = 0

(1 + m²)x² + (–8m² + 20m — 8)x + 16m² — 80m + 96 = 0

 

Agar bersinggungan maka

D = 0

b² — 4ac = 0

(–8m² + 20m — 8)² — 4(1 + m²)(16m² — 80m + 96) = 0

(–8m² + 20m — 8)² — 4 (16m² — 80m + 96 + 16m⁴ — 80m³ + 96m²) = 0

64m⁴ + 400m² + 64 — 320m³ + 128m² — 320m — 64m² + 320m — 384 — 64m⁴ + 320m³ — 384m² = 0

80m² — 320 = 0

m² — 4 = 0

(m — 2)(m + 2) = 0

m = 2 atau m = –2

 

Selanjutnya nilai m kita subtitusikan ke persamaan

y = mx — 4m + 11

m = 2 maka y = 2x + 3

m = — 2 maka y = — 2x + 19

Persamaan lingkaran dengan puat (0,0) adalah x² + y² = R²

Garis singgung pada lingkaran ini adalah

 

Persamaan lingkaran dengan puat (0,0) adalah (x — a)² + (y — b)² = R²

Garis singgung pada lingkaran ini adalah

 

Jika lingkaran berupa bentuk umum x² + y² + Ax + By + C= 0 maka garis singgungnya adalah

dengan

 

Contoh Soal 1 :

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 180 dengan gradien 2 adalah …..

Jawab :

R² = 180 maka

m = 2

y = 2x± 30

y = 2x + 30 atau y = 2x — 30

 

Contoh Soal 2 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x — 4)² + (y + 2)² = 250 yang bergradien 3 adalah …..

 

Jawab :

Pusat (4, -2) maka a = 4 dan b = -2

R² = 250 maka

m = 3

y + 2 = 3x — 12 ± 50

y = 3x — 14 ± 50

y = 3x — 14 + 50 atau y = 3x — 14 — 50

y = 3x + 36 atau y = 3x — 64

 

Contoh Soal 3 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y²  — 4x + 6y — 55 = 0 yang bergradien 4 adalah …..

Jawab :

A = — 4 B = 6 C = -55

m = 4

y + 3 = 4x — 8 ± 34

y = 4x — 11 ± 34

y = 4x — 11 + 34 atau y = 4x — 11 – 34

y = 4x + 23 atau y = 4x — 45

 

Contoh Soal 4 :

Persamaan garis singgung lingkaran (x + 6)² + (y – 5)² = 98 yang membentuk sudut 45^o dengan sumbu x positif adalah …

Jawab :

R² =98 maka

Pusat (- 6, 5) maka a = -6 dan b = 5

m = tan 45^o = 1

y — 5 = x + 6 ± 14

y — 5 = x + 6 + 14 atau y – 5 = x + 6 — 14

y = x + 25 atau y = x — 3

 

Contoh Soal 5 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 6x — 2y — 10 = 0 yang sejajar dengan garis y = 2x + 9

Jawab :

A = 6 B = -2 C = -10

gradien garis y = 2x + 9 adalah 2

karena garis singgung yang kita buat sejajar dengan y = 2x + 9 maka gradiennya adalah 2 juga

m = 2

y — 1 = 2x + 6 ± 10

y — 1 = 2x + 6 + 10 atau y — 1 = 2x + 6 – 10

y = 2x + 17 atau y = 2x — 3

 

Contoh Soal 6 :

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 8x + 4y — 20 = 0 yang tegak lurus dengan garis 2x + 6y = 5 adalah …

 

Jawab :

A = -8 B = 4 C = -20

gradien garis 2x + 6y = 5 bisa dihitung dengan cara

2x + 6y = 5

6y = -2x + 5

sehingga

karena saling tegak lurus maka

m₁.m₂ = -1

m₂ = 3

y + 2 = 3x — 12 ± 20

y + 2 = 3x — 12 + 20 atau y + 2 = 3x — 12 – 20

y + 2 = 3x + 6 atau y = 3x – 34

 

Contoh Soal 7:

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 13 yang ditarik dari titik (1, 5) adalah …

Jawab :

Garis melalui (1, 5) sehingga persamaannya menjadi

Jika kedua ruas dikuadratkan maka

25 — 10m + m² = 13 + 13m²

12m² + 10m — 12 = 0

6m² + 5m — 6 = 0

(3m — 2)(2m + 3) = 0

m=2/3 atau m = -3/2

Nilai m harus kita subtitusi ke

untuk memastikan positif atau negatinya

 

Ketika kita subtitusikan ke 5 — m ternyata keduanya positif.

Ini berarti kita hanya akan memakai rumus yang positif

Untuk m = 2/3 maka

Jika kedua ruas dikali 3 maka

3y = 2x + 13

2x — 3y + 13 = 0

 

Untuk m = -3/2 maka

Jika kedua ruas dikali 2 maka

2y = -3x + 13

3x + 2y — 13 = 0