Super Matematika

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu adalah tetap.

Dua titik tertentu yang dimaksud adalah titik fokus.

Jadi elips memiliki 2 titik fokus

Dari gambar bisa diketahui bahwa PF₁ + PF₂ = konstan

 

Elips horizontal dengan pusat (0,0)

Elips horizontal dengan pusat (0, 0) memiliki persamaan

dengan a > b

terdapat hubungan a² = b² + c²

nilai c menunjukkan posisi fokus dengan koordinat fokus (c, 0) dan (–c, 0)

Elips vertikal dengan pusat (0,0)

Elips vertikal dengan pusat (0, 0) memiliki persamaan

dengan a > b

Hubungan antara a, b, dan c adalah a² = b² + c²

Koordinat fokus adalah (0, c) dan (0, –c)

 

 

Pada setiap Elips berlaku

• a² = b² + c²
• a > b
• a> c
• Panjang sumbu mayor = 2a
• Panjang sumbu minor = 2b
• jarak antara 2 fokus = 2c
• jarak pusat ke fokus = c
• eksentrisitas e = c/a
• Jarak pusat ke direktris = a/e

 

Contoh soal 1 :

Diketahui persamaan elips

Tentukan :

• Panjang sumbu mayor
• Panjang sumbu minor
• koordinat titik pusat
• koordinat titik puncak
• koordinat titik fokus
• eksentrisitas
• persamaan direktris

 

Jawab :

a² = 169 maka a = 13

b² = 25 maka b = 5

a² = b² + c²

169 = 25 +c²

c² = 144

c = 12

• panjang sumbu mayor = 2a = 26
• panjang sumbu minor = 2b = 10
• Karena persamaan elips masih sederhana maka koordinat titik pusat adalah (0, 0)
• bentuk elips adalah horisontal, sehingga koordinat puncak (13, 0) dan (-13, 0)
• koordinat titik fokus (12, 0) dan (-12, 0)
• eksentrisitas e = c/a = 12/13
• Persamaan direktrisnya :

Elips tersebut memiliki gambar sebagai berikut :

 

 

Contoh Soal 2

Diketahui persamaan elips

Tentukan :

• Panjang sumbu mayor
• Panjang sumbu minor
• koordinat titik pusat
• koordinat titik puncak
• koordinat titik fokus
• eksentrisitas
• persamaan direktris

 

Jawab :

a² = 289 maka a = 17

b² = 64 maka b = 8

c² = a² — b² = 289 — 64 = 225

maka c = 15

 

Panjang sumbu mayor = 2a = 34

Panjang sumbu minor = 2b = 16

Koordinat titik pusat (0, 0)

Koordinat titik puncak (0, 17) dan (0, –17)

Koordinat titik fokus (0, 15) dan (0, –15)

Eksentrisitas e = c/a = 15/17

Persamaan direktris

Jika digambar hasilnya adalah sebagai berikut :

 

Untuk mempelajari ilmu lanjutannya, pelajari tentang pergeseran elips dan bentuk umum persamaan elips

Garis singgung lingkaran di titik (x₁, y₁) bisa dikategorikan menjadi 3 macam

1. Untuk lingkaran x² + y² = R² maka garis singgungnya adalah

x₁x + y₁y = R²

 

2. Untuk lingkaran (x — a)² + (y — b)² = R² maka garis singgungnya adalah

(x₁ — a)(x — a)+ (y₁ — b)(y — b) = R²

 

3. Untuk lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 maka garis singgungnya adalah

x₁x + y₁y + ½ A(x + x₁) + ½ B (y + y₁) + C = 0

 

 

Contoh Soal 1 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 289 di titik (8, –15)

Jawab :

x₁x + y₁y = 289

8x — 15y = 289

 

Contoh Soal 2 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x — 3)² + (y + 2)² = 625 di titik (10, 22)

Jawab :

(x₁ — 3)(x — 3) + (y₁ + 2)(y + 2) = 625

(10 — 3)(x — 3) + (22 + 2)(y + 2) = 625

7(x — 3) + 24(y + 2) = 625

7x — 21 + 24y + 48 = 625

7x + 24y = 598

 

 

Contoh Soal 3 :

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 8x — 4y + 6 = 0 di titik (1, 3) adalah …

Jawab :

x₁x + y₁y + ½ .8(x + x₁) + ½ (–4)(y + y₁) + 6 = 0

1.x + 3y + 4(x + 1) — 2 (y + 3) + 6 = 0

x + 3y + 4x + 4 — 2y — 6 + 6 = 0

5x + y + 4 = 0

 

Contoh soal 4 :

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² — 10x — 12y — 39 = 0 di titik yang berabsis 12 adalah …

Jawab :

x = 11

x² + y² — 10x — 12y — 39 = 0

121 + y² — 110 — 12y — 39 = 0

y² — 12y — 28 = 0

(y — 14)(y + 2) = 0

y = 14 atau y = — 2

Selanjutnya persamaan garis singgungnya adalah

x₁.x + y₁.y — 5(x + x₁) — 6(y + y₁) — 39 = 0

untuk (x₁, y₁) = (11, 14)

11x + 14y — 5(x + 11) — 6(y + 14) — 39 = 0

11x + 14y — 5x — 55 — 6y — 84 — 39 = 0

6x + 8y — 178 = 0

 

untuk (x₁, y₁) = (11, –2)

11x — 2y — 5(x + 11) — 6(y + 2) — 39 = 0

11x — 2y — 5x — 55 — 6y — 12 — 39 = 0

6x — 8y — 106 = 0

 

Contoh soal 5 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x — 5)² + (y + 7)² = 289 di titik yang berordinat 8

Jawab :

y = 8

(x — 5)² + (y + 7)² = 289

(x — 5)² + (8 + 7)² = 289

(x — 5)² + 225 = 289

(x — 5)² = 64

x — 5 = — 8 atau x — 5 = 8

x = — 3 atau x = 13

Persamaan garis singgungnya :

(x₁ — 5)(x — 5) + (y₁ + 7)(y + 7) = 289

 

Untuk (x₁, y₁) = (–3, 8)

(–3 — 5)(x — 5) + (8 + 7)(y + 7) = 289

–8(x — 5) + 15(y + 7) = 289

–8x + 40 + 15y + 105 = 289

–8x + 15y + 145 = 289

8x — 15y + 144 = 0

 

Untuk (x₁, y₁) = (13, 8)

(13 — 5)(x — 5) + (8 + 7)(y + 7) = 289

8(x — 5) + 15(y + 7) = 289

8x — 40 + 15y + 105 = 289

8x + 15y + 65 = 289

8x + 15y –224 = 0

 

Contoh soal 6 :

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 6x – 10y — 135 = 0 di titik potongnya dengan sumbu x adalah …

 

Jawab :

Titik potong sumbu x

y = 0

x² + y² + 6x – 10y — 135 = 0

x² + 0 + 6x – 0 — 135 = 0

x² + 6x – 135 = 0

(x + 15)(x — 9) = 0

x = — 15 atau x = 9

 

Persamaan garis singgungnya adalah

x₁x + y₁y + 3(x + x₁) — 5(y + y₁) — 135 = 0

 

untuk (x₁, y₁) = (–15, 0)

–15x + 0 + 3(x — 15) — 5(y + 0) — 135 = 0

–15x + 3x — 45 — 5y – 135 = 0

12x + 5y + 180 = 0

 

untuk (x₁, y₁) = (9, 0)

9x + 0 + 3(x + 9) — 5(y + 0) — 135 = 0

9x + 3x + 27 — 5y — 135 = 0

12x — 5y — 108 = 0