Irisan Kerucut

Irisan Kerucut Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu adalah tetap.

Dua titik tertentu yang dimaksud adalah titik fokus.

Jadi elips memiliki 2 titik fokus

Elips

Dari gambar bisa diketahui bahwa PF1 + PF2 = konstan

 

Elips horizontal dengan pusat (0,0)

Elips horizontal dengan pusat (0, 0) memiliki persamaan

dengan a > b

terdapat hubungan a2 = b2 + c2

nilai c menunjukkan posisi fokus dengan koordinat fokus (c, 0) dan (–c, 0)

elips horizontal

Elips vertikal dengan pusat (0,0)

Elips vertikal dengan pusat (0, 0) memiliki persamaan

dengan a > b

Hubungan antara a, b, dan c adalah a2 = b2 + c2

Koordinat fokus adalah (0, c) dan (0, –c)

elips vertical

 

 

Pada setiap Elips berlaku

  • a2 = b2 + c2
  • a > b
  • a> c
  • Panjang sumbu mayor = 2a
  • Panjang sumbu minor = 2b
  • jarak antara 2 fokus = 2c
  • jarak pusat ke fokus = c
  • eksentrisitas e = c/a
  • Jarak pusat ke direktris = a/e

 

Contoh soal 1 :

Diketahui persamaan elips

Tentukan :

  • Panjang sumbu mayor
  • Panjang sumbu minor
  • koordinat titik pusat
  • koordinat titik puncak
  • koordinat titik fokus
  • eksentrisitas
  • persamaan direktris

 

Jawab :

a2 = 169 maka a = 13

b2 = 25 maka b = 5

a2 = b2 + c2

169 = 25 +c2

c2 = 144

c = 12

  • panjang sumbu mayor = 2a = 26
  • panjang sumbu minor = 2b = 10
  • Karena persamaan elips masih sederhana maka koordinat titik pusat adalah (0, 0)
  • bentuk elips adalah horisontal, sehingga koordinat puncak (13, 0) dan (-13, 0)
  • koordinat titik fokus (12, 0) dan (-12, 0)
  • eksentrisitas e = c/a = 12/13
  • Persamaan direktrisnya :

Elips tersebut memiliki gambar sebagai berikut :

 

gambar elips horizontal

 

Contoh Soal 2

Diketahui persamaan elips

Tentukan :

  • Panjang sumbu mayor
  • Panjang sumbu minor
  • koordinat titik pusat
  • koordinat titik puncak
  • koordinat titik fokus
  • eksentrisitas
  • persamaan direktris

 

Jawab :

a2 = 289 maka a = 17

b2 = 64 maka b = 8

c2 = a2 — b2 = 289 — 64 = 225

maka c = 15

 

Panjang sumbu mayor = 2a = 34

Panjang sumbu minor = 2b = 16

Koordinat titik pusat (0, 0)

Koordinat titik puncak (0, 17) dan (0, –17)

Koordinat titik fokus (0, 15) dan (0, –15)

Eksentrisitas e = c/a = 15/17

Persamaan direktris

Jika digambar hasilnya adalah sebagai berikut :

gambar elips vertikal

 

Untuk mempelajari ilmu lanjutannya, pelajari tentang pergeseran elips dan bentuk umum persamaan elips

Garis Singgung Lingkaran di titik (x1, y1)

Garis singgung lingkaran di titik (x1, y1) bisa dikategorikan menjadi 3 macam

1. Untuk lingkaran x2 + y2 = R2 maka garis singgungnya adalah

x1x + y1y = R2

 

2. Untuk lingkaran (x — a)2 + (y — b)2 = R2 maka garis singgungnya adalah

(x1 — a)(x — a)+ (y1 — b)(y — b) = R2

 

3. Untuk lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 maka garis singgungnya adalah

x1x + y1y + ½ A(x + x1) + ½ B (y + y1) + C = 0

 

 

Contoh Soal 1 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 289 di titik (8, –15)

Jawab :

x1x + y1y = 289

8x — 15y = 289

 

Contoh Soal 2 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x — 3)2 + (y + 2)2 = 625 di titik (10, 22)

Jawab :

(x1 — 3)(x — 3) + (y1 + 2)(y + 2) = 625

(10 — 3)(x — 3) + (22 + 2)(y + 2) = 625

7(x — 3) + 24(y + 2) = 625

7x — 21 + 24y + 48 = 625

7x + 24y = 598

 

 

Contoh Soal 3 :

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 8x — 4y + 6 = 0 di titik (1, 3) adalah …

Jawab :

x1x + y1y + ½ .8(x + x1) + ½ (–4)(y + y1) + 6 = 0

1.x + 3y + 4(x + 1) — 2 (y + 3) + 6 = 0

x + 3y + 4x + 4 — 2y — 6 + 6 = 0

5x + y + 4 = 0

 

Contoh soal 4 :

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 — 10x — 12y — 39 = 0 di titik yang berabsis 12 adalah …

Jawab :

x = 11

x2 + y2 — 10x — 12y — 39 = 0

121 + y2 — 110 — 12y — 39 = 0

y2 — 12y — 28 = 0

(y — 14)(y + 2) = 0

y = 14 atau y = — 2

Selanjutnya persamaan garis singgungnya adalah

x1.x + y1.y — 5(x + x1) — 6(y + y1) — 39 = 0

untuk (x1, y1) = (11, 14)

11x + 14y — 5(x + 11) — 6(y + 14) — 39 = 0

11x + 14y — 5x — 55 — 6y — 84 — 39 = 0

6x + 8y — 178 = 0

 

untuk (x1, y1) = (11, –2)

11x — 2y — 5(x + 11) — 6(y + 2) — 39 = 0

11x — 2y — 5x — 55 — 6y — 12 — 39 = 0

6x — 8y — 106 = 0

 

Contoh soal 5 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x — 5)2 + (y + 7)2 = 289 di titik yang berordinat 8

Jawab :

y = 8

(x — 5)2 + (y + 7)2 = 289

(x — 5)2 + (8 + 7)2 = 289

(x — 5)2 + 225 = 289

(x — 5)2 = 64

x — 5 = — 8 atau x — 5 = 8

x = — 3 atau x = 13

Persamaan garis singgungnya :

(x1 — 5)(x — 5) + (y1 + 7)(y + 7) = 289

 

Untuk (x1, y1) = (–3, 8)

(–3 — 5)(x — 5) + (8 + 7)(y + 7) = 289

–8(x — 5) + 15(y + 7) = 289

–8x + 40 + 15y + 105 = 289

–8x + 15y + 145 = 289

8x — 15y + 144 = 0

 

Untuk (x1, y1) = (13, 8)

(13 — 5)(x — 5) + (8 + 7)(y + 7) = 289

8(x — 5) + 15(y + 7) = 289

8x — 40 + 15y + 105 = 289

8x + 15y + 65 = 289

8x + 15y –224 = 0

 

Contoh soal 6 :

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 6x – 10y — 135 = 0 di titik potongnya dengan sumbu x adalah …

 

Jawab :

Titik potong sumbu x

y = 0

x2 + y2 + 6x – 10y — 135 = 0

x2 + 0 + 6x – 0 — 135 = 0

x2 + 6x – 135 = 0

(x + 15)(x — 9) = 0

x = — 15 atau x = 9

 

Persamaan garis singgungnya adalah

x1x + y1y + 3(x + x1) — 5(y + y1) — 135 = 0

 

untuk (x1, y1) = (–15, 0)

–15x + 0 + 3(x — 15) — 5(y + 0) — 135 = 0

–15x + 3x — 45 — 5y – 135 = 0

12x + 5y + 180 = 0

 

untuk (x1, y1) = (9, 0)

9x + 0 + 3(x + 9) — 5(y + 0) — 135 = 0

9x + 3x + 27 — 5y — 135 = 0

12x — 5y — 108 = 0