Irisan Kerucut

Pergeseran Elips

Elips yang berpusat di (0, 0) memiliki persamaan sebagai berikut

Elips Horizontal :

Elips vertikal :

Jika elips ini bisa kita geser ke kanan sejauh p dan ke atas sejauh q sehingga persamaannya menjadi

Elips Horizontal :

Elips vertikal :

Semua aturan pada elips yang berpusat (0,0) yang masih berlaku adalah

  • a > b
  • a2 = b2 + c2
  • Panjang sumbu mayor = 2a
  • Panjang sumbu minor = 2b
  • Jarak antar fokus = 2c
  • Jarak pusat ke fokus = c
  • Jarak pusat ke puncak = a
  • Eksentrisitas e = c/a
  • Jarak pusat ke persamaan direktris adalah a/e

Untuk lebih jelasnya mari kita bahas contoh-contoh berikut ini

 

Contoh Soal 1 :

Diketahui persamaan elips

Tentukan :

  • Panjang sumbu mayor
  • Panjang sumbu minor
  • jarak antar fokus
  • koordinat titik pusat
  • koordinat titik puncak
  • koordinat titik fokus
  • eksentrisitas
  • persamaan direktris
  • panjang latus rectum

Jawab :

dari persamaan diketahui

a2 = 25 maka a = 5

b2 = 9 maka b = 3

c2 = a2 — b2 = 25 — 9 = 16 maka c = 4

 

Panjang sumbu mayor = 2a = 10

Panjang sumbu minor = 2b = 6

Jarak antar fokus = 2c = 8

Menentukan koordinat titik pusat

x– 3 = 0 maka x = 3

y + 2 = 0 maka y = –2

Jadi koordinat titik pusat =(3, –2)

 

Menentukan koordinat titik puncak

Elips yang ada merupakan elips horizontal, karena nilai a berada di bagian x

pergeseran elips horizontal

Maka untuk menentukan puncak, absis koordinat titik pusat ditambah dengan 5 untuk mendapatkan puncak kanan, dan dikurangi 5 untuk mendapatkan puncak kiri

Jadi, koordinat puncak (8, –2) dan (–2, –2)

 

Menentukan koordinat fokus

fokus elips horizontal

Untuk menentukan puncak, absis koordinat titik pusat ditambah dengan 4 untuk mendapatkan fokus kanan, dan dikurangi 4 untuk mendapatkan fokus kiri

Jadi koordinat fokus (–1, –2) dan (7, –2)

Eksentrisitas

e = c/a = 4/5 = 0,8

 

Menentukan persamaan direktris

Jarak pusat ke direktris = a/e = 5/0,8 = 6,25

direktris elips horizontal

Jadi persamaan direktrisnya x = –3,25 dan x = 9,25

 

Menentukan panjang latus rectum

Latus rectum merupakan tali busur elips yang melalui fokus dan tegak lurus sumbu utama. Jadi untuk menentukannya kita subtitusikan nilai x yang ada di salah satu titik fokus

Fokus (–1, –2) dan (7, –2)

Kita pilih x = –1 atau x = 7

Kita pilih saja x = 7 dan kita subtitusikan ke

Panjang latus rectum

= yatas — ybawah

 

Contoh Soal 2 :

Diketahui persamaan elips

Tentukan :

  • Panjang sumbu mayor
  • Panjang sumbu minor
  • jarak antar fokus
  • koordinat titik pusat
  • koordinat titik puncak
  • koordinat titik fokus
  • eksentrisitas
  • persamaan direktris
  • panjang latus rectum

Jawab :

dari persamaan diketahui

 

a2 = 169 maka a = 13

b2 = 25 maka b = 5

c2 = a2 — b2 = 169 — 25 = 144 maka c = 12

 

Panjang sumbu mayor = 2a = 26

Panjang sumbu minor = 2b = 10

Jarak antar fokus = 2c = 24

 

Menentukan koordinat titik Pusat

x + 3 = 0 maka x = –3

y – 4 = 0 maka y = 4

Jadi koordinat pusat (–3, 4)

Garis Singgung Elips Dengan Diskriminan

Penggunaan Diskriminan untuk mencari persamaan garis singgung pada elips sebenarnya jarang dilakukan. Akan tetapi di sini saya akan mencoba membahasnya.

Pada intinya jika sebuah garis menyinggung kurva maka berlaku D = 0, dengan D = b2 — 4ac

 

Contoh soal 1 :

Tentukan persamaan garis singgung pada elips 4x2 + y2 = 17 yang bergradien 8

Jawab :

Gradien = 8 , jadi m = 8

Persamaan garis singgung bisa ditulis menjadi

y = mx + n

y = 8x + n

Persamaan ini bisa disubtitusikan ke kurva

4x2 + y2 = 17

4x2 + (8x + n)2 = 17

4x2 + 64x2 + 16nx + n2 = 17

68x2 + 16nx + n2 — 17 = 0

Syarat bersinggungan :

D = 0

b2 — 4ac = 0

(16n)2 — 4.68(n2 — 17) = 0

256n2 — 272n2 + 4624 = 0

–16n2 = –4624

n2 = 289

n = 17 atau n = –17

 

Untuk n = 17, persamaan garis singgungya

y = 8x + 17

 

Untuk n = –17, persamaan garis singgungya

y = 8x — 17

 

Contoh soal 2 :

Tentukan persamaan garis singgung pada elips

yang tegak lurus dengan 3x + 2y = 30

Jawab :

3x + 2y = 30

2y = –3x + 30

maka m1 = -3/2

karena tegak lurus maka

m1.m2 = –1

sehingga m2 =2/3

maka garis singgungnya bisa dimisalkan

y = m2x + n

Selanjutnya persamaan garis ini kita subtitusikan ke elips

Jika kedua ruas dikalikan dengan 72 maka

4x2 + 9y2 = 72

4x2 + 4x2 + 12nx + 9n2 — 72 = 0

8x2 + 12nx + 9n2 — 72 = 0

 

Syarat bersinggungan :

D = 0

b2 — 4ac = 0

(12n)2 — 4.8.(9n2 — 72) = 0

144n2 — 288n2 + 2304 = 0

–288n2 = –2304

n2 = 16

n = 4 atau n = –4

 

Jadi, persamaan garisnya adalah

atau

 

Contoh Soal 3 :

Tentukan persamaan garis singgung elips

di titik (4, 3)

 

Jawab :

Persamaan garis yang melalui (4, 3) adalah

y — 3 = m(x — 4)

y — 3 = mx — 4m

y = mx — 4m + 3

Persamaan ini kita subtitusikan ke elips

Jika kedua ruas dikali dengan 180 maka

9x2 + 4y2 = 180

9x2 + 4(mx — 4m + 3)2 = 180

9x2 + 4(m2x2 + 16m2 + 9 — 8m2x + 6mx — 24m) = 180

9x2 + 4m2x2 + 64m2 + 36 — 32m2x + 24mx –96m = 180

(9 + 4m2)x2 + (24m — 32m2)x + 64m2 — 96m — 144 = 0

 

Syarat bersinggungan

D = 0

b2 — 4ac = 0

(24m — 32m2)2 — 4(9 + 4m2) (64m2 — 96m — 144)=0

(8(3m — 4m2))2 — 4(9 + 4m2) 16 (4m2 — 6m — 9)=0

64(3m — 4m2)2 — 64(9 + 4m2) (4m2 — 6m — 9)=0

 

Jika kedua ruas dibagi dengan 64 maka

(3m — 4m2)2 — (9 + 4m2) (4m2 — 6m — 9)=0

9m2 — 24m3 + 16m4 — (36m2 — 54m — 81 + 16m4 — 24m3 — 36m2) = 0

9m2 + 54m + 81 = 0

m2 + 6m + 9 = 0

(m + 3)2 = 0

m = –3

 

Selanjutnya nilai m kita subtitusikan ke persamaan

y = mx — 4m + 3

y = –3x + 12 + 3

y = –3x + 15