Irisan Kerucut

Garis Singgung Elips di titik (x1, y1)

Seringkali garis singgung pada elips agak sulit dicari, apalagi jika menggunakan diskriminan, tentunya perhitungannya sangat panjang. Untuk lebih mudahnya kita bisa menggunakan rumus-rumus garis singgung elips di titik (x1, y1).

Garis singgung elips di titik (x1, y1) bisa dirumuskan sebagai berikut

Garis singgung elips di (x1, y1)

 

Agar lebih jelas, sekarang bisa kita lihat pada contoh-contoh soal berikut

 

Contoh soal 1

Tentukan persamaan garis singgung elips

di titik (2, 1½)

 

Jawab :

Dari soal diperoleh

x1 = 2, y1 = 1½ = 3/2

a2 = 8 , b2 = 3

maka persamaan garis singgu elips

Jika kedua ruas dikalikan dengan 4 maka

x + 2y = 4

 

Contoh Soal 2 :

Persamaan garis singgung elips

di titik (1, 3) adalah …

Jawab :

Dari soal diperoleh data

x1 = 1, y1 = 3

b2 = 4 , a2 = 12

maka persamaan garis singgung bisa dinyatakan dengan :

Jika kedua ruas dikali 4 maka

x + y = 4

 

Contoh soal 3 :

Tentukan persamaan garis singgung elips

di titik (6, – 2)

Jawab :

Dari soal didapat

a2 = 20, b2 = 5, x1 = 6, y1 = — 2 , p = 2, q = –3

Maka persamaan garis singgung elips tersebut adalah

Jika kedua ruas dikali 5 maka

x — 2 + y + 3 = 5

x + y = 4

 

Contoh Soal 4 :

Persamaan garis singgung pada elips

di titik (– 4, 1) adalah …

Jawab :

Dari soal diperoleh data :

a2 = 6, b2 = 3, x1 = –4, y1 = 1 , p = –5, q = 3

Dengan demikian persamaan garis singgung kurva tersebut adalah

Jika kedua ruas dikali 3 maka

x + 5 – y + 3 = 3

x – y + 5 = 0

 

 

Contoh soal 5 :

Tentukan persamaan garis singgung pada elips

4x2 + y2 — 16x — 2y — 3 = 0

di titik (3, 5)

 

Jawab :

Titik berada pada elips, sehingga garis singgungnya bisa kita tulis sbb :

4x1x + y1y — 8(x + x1) — (y + y1) — 3 = 0

Karena titiknya (3, 5) maka x1 = 3 dan y1 = 5

4.3.x + 5y — 8(x + 3) — (y + 5) — 3 = 0

12x + 5y — 8x — 24 — y — 5 — 3 = 0

4x + 4y = 32

x + y = 8

 

 

 

Pergeseran Elips

Bentuk Umum Persamaan Elips

Elips memiliki persamaan dengan bentuk umum

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

Jika A < B maka elips horizontal

Jika A > B maka elips vertikal

Untuk menentukan unsur-unsurnya maka persamaan elips kita ubah menjadi

Elips Horizontal :

Elips vertikal :

 

Contoh soal 1 :

Diketahui elips dengan persamaan

16x2 + 25y2 — 160x — 150y — 975 = 0

Tentukan :

  • Panjang sumbu mayor
  • Panjang sumbu minor
  • jarak antar fokus
  • koordinat titik pusat
  • koordinat titik puncak
  • koordinat titik fokus
  • eksentrisitas
  • persamaan direktris
  • panjang latus rectum

Jawab :

16x2 + 25y2 — 160x — 150y — 975 = 0

16x2 — 160x + 25y2 – 150y — 975 = 0

16(x2 — 10x) + 25(y2 — 6y) = 975

16((x — 5)2 — 25) + 25((y — 3)2 — 9) = 975

16(x — 5)2 — 400 + 25(y — 3)2 — 225 = 975

16(x — 5)2 + 25(y — 3)2 = 1600

Jika dibagi 1600 maka

Jadi

a2 = 100 maka a = 10

b2 = 64 maka b = 8

c2 = a2 — b2 = 100 — 64 = 36 maka c = 6

 

panjang sumbu mayor = 2a = 20

panjang sumbu minor = 2b = 16

jarak antar fokus = 2c = 12

 

Menentukan pusat

Dengan melihat

maka untuk menentukan pusat

x — 5 = 0 maka x = 5

y — 3 = 0 maka y = 3

jadi, pusat (5, 3)

 

Menentukan Puncak

Elips ini merupakan elips horizontal, sehingga koordinat puncaknya diperoleh dari koordinat pusat yang absisnya dikurangi dengan a atau ditambah dengan a. (Nilai a = 10)

elips horizontal

Jadi koordinat puncaknya (–5, 3) dan (15, 3)

 

Menentukan koordinat fokus

Hampir sama seperti menentukan puncak. Untuk menentukan fokus maka absis koordinat pusat dikurangi dengan c atau ditambah dengan c. (Nilai c = 6)

Fokus pada elips

Jadi, koordinat fokusnya adalah (–1, 3) dan (11, 3)

 

Eksentrisitas

Nila eksentrisitas e = c/a = 6/10 = 0,6

 

Panjang latus rectum

Latus Rectum

Latus rectum adalah tali busur pada elips yang melalui fokus dan tegak lurus sumbu utama. Untuk menentukan panjangnya, pertama subtitusikan nilai abis yang ada di fokus (jadi bisa dipilih x = –1 atau x = 11)

Misalnya kita pilih x = 11

dan

Panjang Latus Rectum