Integral

Integral Tak Tentu

Pada Integral tak tentu, terdapat penambahan konstanta yang besarnya tidak tentu. Berbeda dengan integral tertentu yang ada batasnya. Pada integral ini kita tidak memberikan batas.

Untuk memperjelas adanya penambahan konstanta, marilah kita lihat ilustrasi berikut.

y = x5 maka y’ = 5x4

y = x5 + 6 maka y’ = 5x4

y = x5 – 100 maka y’ = 5x4

y = x5 + 2015 maka y’ = 5x4

Jika keempat proses ini dibalik jadilah integral, sehingga

Integral tak tentu

anehnya terdapat penambahan ataupun pengurangan dengan bilangan yang berbeda-beda. Bilangan ini sering kita tulis dengan c yang besarnya tidak tentu, sehingga

Integral tak tentu 2

Dengan demikian kita bisa menulis bentuk umum integral tak tentu aljabar, yaitu :

Integral tak tentu 3

Pada akhirnya setiap rumus integral selalu ada penambahan konstanta.

1. ∫ dx = x + c

2. ∫ a dx = ax + c

3. Integral tak tentu 3 n ≠ -1

4.integral ln

5. ∫ cos x dx = sin x + c

6. ∫ sin x dx = -cos x + c

7. ∫ sec2 x = tan x + c

8. ∫ csc2 x = -cot x + c

9. ∫sec x tan x = sec x + c

10. ∫ csc x cot x = — csc x + c

11. ∫ ex dx = ex +c

 

Latihan Soal :

Integral 1

Integral 2

Integral 3

Pembahasan nomor 1 — 3

 

Integral 4

Integral 5

Integral 6

Integral 7

Pembahasan no 4 — 7

Integral 8

Integral 9

Integral 10

Integral 11

Integral 12

Integral 13

Pembahasan 8 — 13

Integral 14

Integral 15

Integral 16

Integral 17

Pembahasan nomor 14 — 17

Integral Siklometri

Integral siklometri seringkali disebut integral subtitusi trigonometri. Hal ini disebabkan kita mensubtitusikan fungsi trigonometri untuk menggantikan variabel yang ada. Sebutan integral siklometri diseabkan kita sering menggunakan invers fungsi trigonometri.

Contoh invers fungsi trigonometri

y = sin x maka x = arcsin y = sin-1 y

y = cos x maka x = arccos y = cos-1 y

y = tan x maka x = arctan y = tan -1 y

y = cot x maka x = arccot y = cot -1 y

y = sec x maka x = arcsec y = sec-1 y

y = csc x maka x = arccsc y = csc -1 y

Ada 3 bentuk utama dalam menngunakan integral siklometri, yaitu :

1. a2 — x2 kita subtitusi dengan x = a sin θ atau x = a cos θ

2. a2 + x2 kita subtitusi dengan x = a tan θ atau x = a cot θ

3. x2 — a2 kita subtitusi dengan x = a sec θ atau x = a csc θ

Supaya lebih nikmat dalam belajar, marilah kita lihat contoh-contoh berikut

Contoh 1 :

Jawab :

misal x = 4 sin θ

maka dx = 4 cos θ dθ

sehingga

=∫4 sin θ = — 4 cos θ + c

Perhatikan bahwa x = 4 sin θ sehingga sin θ = x/4

Jika bentuk ini kita gambar pada segitiga siku-siku maka

siklometri 1

sehingga

maka

= — 4 cos θ + c

 

Cara kedua kita bisa menggunakan integral subtitusi biasa, yaitu dengan memisalkan

y = 16 — x2

maka

sehingga

 

Contoh 2

Jawab :

misalkan x = 3 tan θ

maka dx = 3 sec2 θ dθ

karena tan θ = x/3

maka

θ = arctan x/3

sehingga

 

Contoh 3 :

Jawab :

misalkan x = 2 sin θ

maka dx = 2 cos θ dθ

karena sin θ = x/2

maka θ = arc sin x/2 + c

dengan demikian

=∫ dθ = θ + c