Super Matematika

Pada Integral tak tentu, terdapat penambahan konstanta yang besarnya tidak tentu. Berbeda dengan integral tertentu yang ada batasnya. Pada integral ini kita tidak memberikan batas.

Untuk memperjelas adanya penambahan konstanta, marilah kita lihat ilustrasi berikut.

y = x⁵ maka y’ = 5x⁴

y = x⁵ + 6 maka y’ = 5x⁴

y = x⁵ – 100 maka y’ = 5x⁴

y = x⁵ + 2015 maka y’ = 5x⁴

Jika keempat proses ini dibalik jadilah integral, sehingga

anehnya terdapat penambahan ataupun pengurangan dengan bilangan yang berbeda-beda. Bilangan ini sering kita tulis dengan c yang besarnya tidak tentu, sehingga

Dengan demikian kita bisa menulis bentuk umum integral tak tentu aljabar, yaitu :

Pada akhirnya setiap rumus integral selalu ada penambahan konstanta.

1. ∫ dx = x + c

2. ∫ a dx = ax + c

3. n ≠ -1

4.

5. ∫ cos x dx = sin x + c

6. ∫ sin x dx = -cos x + c

7. ∫ sec² x = tan x + c

8. ∫ csc² x = -cot x + c

9. ∫sec x tan x = sec x + c

10. ∫ csc x cot x = — csc x + c

11. ∫ e^x dx = e^x +c

Latihan Soal :

Pembahasan nomor 1 — 3

Pembahasan no 4 — 7

Pembahasan 8 — 13

Pembahasan nomor 14 — 17

Integral siklometri seringkali disebut integral subtitusi trigonometri. Hal ini disebabkan kita mensubtitusikan fungsi trigonometri untuk menggantikan variabel yang ada. Sebutan integral siklometri diseabkan kita sering menggunakan invers fungsi trigonometri.

Contoh invers fungsi trigonometri

y = sin x maka x = arcsin y = sin^-1 y

y = cos x maka x = arccos y = cos^-1 y

y = tan x maka x = arctan y = tan ^-1 y

y = cot x maka x = arccot y = cot ^-1 y

y = sec x maka x = arcsec y = sec^-1 y

y = csc x maka x = arccsc y = csc ^-1 y

Ada 3 bentuk utama dalam menngunakan integral siklometri, yaitu :

1. a² — x² kita subtitusi dengan x = a sin θ atau x = a cos θ

2. a² + x² kita subtitusi dengan x = a tan θ atau x = a cot θ

3. x² — a² kita subtitusi dengan x = a sec θ atau x = a csc θ

Supaya lebih nikmat dalam belajar, marilah kita lihat contoh-contoh berikut

Contoh 1 :

Jawab :

misal x = 4 sin θ

maka dx = 4 cos θ dθ

sehingga

=∫4 sin θ = — 4 cos θ + c

Perhatikan bahwa x = 4 sin θ sehingga sin θ = x/4

Jika bentuk ini kita gambar pada segitiga siku-siku maka

sehingga

maka

= — 4 cos θ + c

Cara kedua kita bisa menggunakan integral subtitusi biasa, yaitu dengan memisalkan

y = 16 — x²

maka

sehingga

Contoh 2

Jawab :

misalkan x = 3 tan θ

maka dx = 3 sec² θ dθ

karena tan θ = x/3

maka

θ = arctan x/3

sehingga

Contoh 3 :

Jawab :

misalkan x = 2 sin θ

maka dx = 2 cos θ dθ

karena sin θ = x/2

maka θ = arc sin x/2 + c

dengan demikian

=∫ dθ = θ + c