Super Matematika

Subtitusi, artinya mengganti. Dalam Integral subtitusi, ada bagian tertentu yang diganti atau dimisalkan. Tujuan utama pemisalan adalah agar mudah dikerjakan. Di sini integral terhadap variabel tertentu (biasanya x atau dikenal dx) diganti dengan variabel lain (misalnya dy, dz, dp, dan sebagainya)

Agar lebih mudah perhatikan contoh berikut

 

Contoh 1

∫(2x — 5)¹⁰ dx = …

Jawab :

misal y = 2x — 5

maka sehingga

∫(2x — 5)¹⁰ dx

 

Contoh 2 :

Jawab :

misal y = x² + 2x

maka

sehingga

Dengan demikian integralnya menjadi

 

Contoh 3 :

∫(x² + 2x) sin (x³ + 3x²) dx

Jawab :

Misal : y = x³ + 3x²

maka

sehingga

dengan demikian

∫(x² + 2x) sin (x³ + 3x²) dx

 

Contoh 4 :

∫(x-5) cos (x-3)(x-7) dx = …

Jawab :

misal y = (x-3)(x-7) = x² — 10 x + 21

maka

∫(x-5) cos (x-3)(x-7) dx

 

Contoh 5 :

∫sin⁶ x cos x dx = …

Jawab :

y = sin x

maka

sehingga

Dengan demikian

∫sin⁶ x cos x dx

 

 

Contoh 6 :

∫cos⁷ 3x sin 3x dx = …

Jawab :

Misal : y = cos 3x

maka

sehingga

Dengan demikian

∫cos⁷ 3x sin 3x dx

 

Contoh 7 :

∫(x-3) cos (x² — 6x) sin⁹ (x² — 6x) dx = …

Jawab :

misal y = sin (x² — 6x)

maka

atau

akibatnya

Dengan demikian

∫(x-3) cos (x² — 6x) sin⁹ (x² — 6x) dx

 

Contoh 8 :

∫ tan¹² x sec² x dx =…

Jawab :

misal : y = tan x

maka

akibatnya

Dengan demikian

∫ tan¹² x sec² x dx

 

Contoh 9 :

∫ sec¹⁵ x tan x dx =…

Jawab :

misalkan y = sec x

maka

sehingga

Akibatnya :

∫ sec¹⁵ x tan x dx

Contoh 1 : Integral Aljabar Sederhana

∫(x⁵ + 6x² — 8x -9) dx = …

.Jawab :

∫(x⁵ + 6x² — 8x -9) dx

 

Contoh 2 : Integral Subtitusi

∫ x² (x³ +7)¹² dx = …

Jawab :

misalkan y = x³ +7

maka

sehingga

Jadi :

∫ x² (x³ +7)¹² dx

 

Contoh 3 : Integral Trigonometri

∫ (x-4) sin (x-2)(x-6) dx = …

Jawab :

misalkan

y = (x-2)(x-6) = x² — 8x + 12

maka

sehingga

∫ (x-4) sin (x-2)(x-6) dx

=∫ (x-4) sin (x² — 8x + 12) dx

 

Contoh 4 : Integral parsial

∫x sin 6x dx = …

Jawab :

u = x → du = dx

dv = sin 6x dx →

∫ u dv = uv — ∫ v du

 

 

Contoh 5 : Integral Siklometri

Jawab :

misalkan x = 4 sin θ

maka dx = 4 cos θ dθ

karena sin θ =

maka θ = arc sin ……………………………………….(1)

kita bisa menggambar segitiga berikut :

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

……………………..(2)

sehingga

 

Contoh 6 : Aplikasi Integral tak tentu

Diketahui f “(x) = 6x + 8 . Jika gradien garis singgung kurva y=f(x) di titik P(2,5) adalah 10 maka f(x) = ….

Jawab :

f “(x) = 6x + 8

maka

f ‘ (x) = ∫ (6x + 8) dx= 3x² + 8x + k

gradien garis singgung kurva y=f(x) di titik P(2,5) adalah 10

artinya f ‘(2)= 10

3.2² + 8.2 + k=10

12 + 16 + k = 10

k = -18

maka

f ‘ (x) = 3x² + 8x -18

f(x) = ∫(3x² + 8x -18) dx

f(x) = x³+4x² -18x + c

Kurva melalui titik P(2,5) artinya

f(2) = 5

2³+4.2² -18.2 + c=5

8 + 16 — 36 + c = 5

-12 + c = 5

c = 17

Jadi

f(x) = x³+4x² -18x + 17

 

 

Contoh 7 : Menghitung luas

Luas daerah yang dibatasi oleh y = 9 — x² dengan sumbu x adalah …

Jawab :

9 — x² = 0

(3 + x)(3 — x) = 0

x = -3 atau x = 3

L=27 — 9 -(-27 +9) = 18 + 18 = 36

 

Contoh 8 : Volume benda putar

Tentukan volumenya jika daerah yang dibatasi oleh y = sin x untu 0 ≤ x ≤ π diputar mengelilingi sumbu x

Jawab :