Super Matematika

Deret aritmetika dan Deret Geometri merupakan 2 deret yang sering dipelajari di SMA ataupun SMP

Pada deret aritmetika memiliki beda tetap, sedangkan pada deret geometri memiliki rasio tetap

Pada deret aritmetika berlaku

U₂ — U₁ = U₃ — U₂ = U₄ — U₃ = U_n — U_{n — 1} = b

U_n = a + (n — 1) b

 

Sementara pada deret geometri berlaku

U_n = ar^{n — 1}

atau

 

Contoh Soal 1

Diketahui 3 bilangan membentuk deret aritmetika dengan beda 2. Jika bilangan ketiga ditambah dengan 1 maka terbentuk deret geometri. Suku ketiga deret geometri adalah ….

Jawab :

Deret aritmetika bisa dimisalkan

a, a + b, a + 2b

Karena bedanya 2 maka bisa ditulis menjadi

a , a + 2, a + 4

Suku ketiga ditambah 1, sehingga menjadi deret geometri, yaitu

a, a + 2, a + 5

Pada deret geometri berlaku

U₁.U₃ = U₂²

a(a + 5) = (a + 2)²

a² + 5a = a² + 4a + 4

a = 4

Suku ketiga deret geometri adalah

a + 5 = 4 + 5 = 9

 

Contoh Soal 2 :

Diketahui Un adalah suku ke n pada barisan aritmetika. Jika diketahui U₁, U₃, U₁₃, dan U_x membentuk barisan geometri maka nilai x sama dengan ….

Jawab :

U_n = a + (n — 1) b

U₁ = a

U₃ = a + 2b

U₁₃ = a + 12b

U_x = a + (x — 1) b

Maka

(a + 2b)² = a(a + 12b)

a² + 4ab + 4b² = a² + 12ab

4b² = 8ab

Jika kedua ruas dibagi dengan 4b maka

b = 2a

 

2ax — a = 125a

2ax = 126a

x = 63

 

Contoh Soal 3 :

Diketahui jumlah n suku pertama suatu deret dinyatakan dengan S_n = n² + 3n + 5. Deret tersebut merupakan

(A) Deret aritmetika dengan beda 1

(B) Deret aritmetika dengan beda 2

(C) Deret geometri dengan rasio 2

(D) Deret geometri dengan rasio 3

(E) Bukan deret aritmetika maupun deret geometri

 

Jawab :

S_n = n² + 3n + 5

S₁ = 1² + 3.1 + 5 = 1 + 3 + 5 = 9

S₂ = 2² + 3.2 + 5 = 4 + 6 + 5 = 15

S₃ = 3² + 3.3 + 5 = 9 + 9 + 5 = 23

 

U₁ = S₁ = 9

U₂ = S₂ — S₁ = 15 — 9 = 6

U₃ = S₃ — S₂ = 23 — 15 = 8

 

U₂ — U₁ = 6 — 9 = — 3

U₃ — U₂ = 8 — 6 = 2

 

Karena U₂ — U₁ ≠ U₃ — U₂ maka deret tersebut bukan deret aritmetika

Karena

maka deret tersebut bukan deret geometri

Jadi, jawabannya adalah E

 

 

Contoh Soal 4 :

Diketahui jumlah n suku pertama suatu deret dinyatakan dengan S_n = 5.3ⁿ — 4. Deret tersebut merupakan

(A) Deret aritmetika dengan beda 3

(B) Deret aritmetika dengan beda 4

(C) Deret geometri dengan rasio 3

(D) Deret geometri dengan rasio 4

(E) Bukan deret aritmetika maupun deret geometri

Jawab :

S_n = 5.3ⁿ — 4

S₁ = 5.3¹ — 4 = 15 — 4 = 11

S₂ = 5.3² — 4 = 45 – 4 = 41

S₃ = 5.3³ — 4 = 135 – 4 = 131

 

U₁ = S₁ = 11

U₂ = S₂ — S₁ = 41 — 11 = 30

U₃ = S₃ — S₂ = 131 – 41 = 90

 

U₂ — U₁ = 30 – 11 = 19

U₃ — U₂ = 90 – 30 = 60

Karena U₂ — U₁ ≠ U₃ — U₂ maka deret tersebut bukan deret aritmetika

Karena

maka deret tersebut bukan deret geometri

Jadi, jawabannya adalah E

Deret geometri memiliki ciri-ciri perbandingan (rasio) tetap. Jadi, rasio sama artinya dengan suku kedua dibagi suku pertama atau suku ketiga dibagi suku kedua, bisa juga suku keempat dibagi suku ketiga, begitu seterusnya

Supaya lebih jelas, ciri-ciri deret geometri bisa ditulis

Suku ke n deret geometri bisa ditulis menjadi

U_n = ar^n-1

Jumlah n suku pertama deret geometri bisa ditulis menjadi

 

Contoh soal 1

Agar 2, x-1, 18 membentuk barisan geometri maka nilai x sama dengan …

Jawab :

U₂² = U₁.U₃
(x — 1)² = 2.18
x² — 2x + 1 = 36
x² — 2x — 35 = 0
(x — 7)(x + 5) = 0
maka
x = 7 atau x = -5

 

Contoh soal 2 :

Dari barisa bilangan

1/729, 1/243, 1/81, 1/27, 1/9 …..

suku ke 14 sama dengan …..

Jawab :

a = 1/729

U₁₄ = ar¹³

 

Contoh soal 3 :

Pada barisan geometri diketahui U₉=2 dan U₁₄ = 64 maka U₁₇ = ….

Jawab :

r = 2
U₉ = 2
ar⁸ = 2
a.2⁸ = 2

U₁₇ = ar¹⁶ =2^-7.2¹⁶ = 2⁹ = 512

 

Contoh soal 4 :

Pada barisan geometri diketahui U₄₇U₅₀U₆₂ = 27
Nilai dari U₁U₂U₃U₄U₅……U₁₀₅ = ?

Jawab :

U₄₇U₅₀U₆₂ = 27
ar⁴⁶.ar⁴⁹.ar⁶¹=27
a³r¹⁵⁶=27
(ar⁵²)³=3³
ar⁵²=3

U₁U₂U₃U₄U₅……U₁₀₅
=a.ar.ar².ar³.ar⁴…..ar¹⁰⁴
=a¹⁰⁵r^{1+2+3+….+104}

Pangkat pada r bisa dihitung dengan deret aritmetika

1 + 2 + 3 + 4 + …+ 104

jadi, hasil di atas bisa kita ubah menjadi

a¹⁰⁵r^52.105
=(ar⁵²)¹⁰⁵
=3¹⁰⁵

 

Contoh soal 5 :

Tentukan jumlah dari

1 + 3 + 9 + ….+6561

Jawab :

a = 1 r = 3/1 = 3
U_n = 6561
ar^{n — 1} = 6561
1.3^{n — 1} = 6561
3^{n — 1} = 38
n — 1 = 8
n = 9

 

Contoh soal 6

Nilai x yang memenuhi persamaan
5 + 10 + 20 + ….+x = 5115

Jawab :
a = 5 r = 10/5 = 2
U_n = x = ?
S_n = 5115

5(2ⁿ — 1) = 5115
2ⁿ — 1 = 1023
2ⁿ = 1024
2ⁿ = 210
n = 10
x = Un = arn — 1
x = U₁₀ = ar⁹
x = 5.29 = 5(512) = 2560

 

Contoh soal 7

Tiga bilangan membentuk barisan geometri dengan jumlah 70. Jika suku ketiga dikurangi 10 maka terbentuk barisan aritmetika. Hasil kali ketiga bilangan semula sama dengan ….

Jawab :

Misalkan ketiga bilangan itu adalah a, ar, ar² maka
a + ar + ar² = 70 ……………………………(1)
a, ar, ar² — 10 membentuk barisan aritmetika
maka
U₂ — U₁ = U₃ — U₂
ar — a = ar² — 10 — ar
a — 2ar + ar² = 10 ………………………….(2)

Jika persamaan (1) dikurangi persmaan (2) diperoleh
3ar = 60
ar = 20

Hasil kali ketiga bilangan semula
a.ar.ar² = a³r³ = (ar)³ = 20³ = 8000

 

Contoh soal 8 :

Pada deret geometri diketahui S₁₀ = 27, S₂₀ = 36 maka S₃₀ = ….

Jawab :

27(r¹⁰ — 1) = 36
r¹⁰ — 1 = 4/3
r¹⁰ = 1/3 ……………………………(1)
r²⁰ = 1/9 ……………………………(2)

S₃₀ = 27(1/9 + 1/3 + 1)
S₃₀ = 3 + 9 + 27 = 39

 

Cara II

S₁₀ = U₁ + U₂ + U₃ + ….+ U₁₀ = 27
a + ar + ar² + …+ ar⁹ = 27 ………………(1)
S₂₀ = S₁₀ + U₁₁ + U₁₂ + U₁₃ + ….+ U₂₀ = 36
27 + ar¹⁰ + ar¹¹ + ar¹² + …+ ar¹⁹ = 36
ar¹⁰ + ar¹¹ + ar¹² + …+ ar¹⁹ = 9
r¹⁰(a + ar + ar² + …+ ar⁹)= 9
r¹⁰(27) = 9
r¹⁰= 1/3 ……………………………………(2)
r²⁰= 1/9 ……………………………………(2)
S₃₀ = S₂₀ + U₂₁ + U₂₂ + U₂₃ + ….+ U₂₀
S₃₀ = 36 + ar²⁰ + ar²¹ + ar²² + …+ ar²⁹
S₃₀ = 36 + r²⁰ (a + ar + ar² + …+ ar⁹)
S₃₀ = 36 + 1/9 (27) = 36 + 3 = 39

 

Contoh soal 9 :

U_n menyatakan suku ke n pada barisan aritmetika. Jika U₁, U₃, U₇, U_x, dan U_y membentuk barisan geometri maka x + y = ….

Jawab :
U_n=a+(n-1)b
U₁=a
U₃=a+2b
U₇=a+6b
U_x=a+(x-1)b
U_y=a+(y-1)b

Karena membentuk barisan geometri maka

(a + 2b)² = a(a + 6b)
a² + 4ab + 4b² = a² + 6ab
4b² = 2ab

Jika kedua ruas dibagi 2b maka

2b = a
a = 2b ………………………………………………(1)

bx + b = 16b
bx = 15b
x = 15

by + b = 32b
by = 31b
y = 31

Jadi x + y = 46