Deret Geometri

Deret geometri memiliki ciri-ciri perbandingan (rasio) tetap. Jadi, rasio sama artinya dengan suku kedua dibagi suku pertama atau suku ketiga dibagi suku kedua, bisa juga suku keempat dibagi suku ketiga, begitu seterusnya

Supaya lebih jelas, ciri-ciri deret geometri bisa ditulis

Suku ke n deret geometri bisa ditulis menjadi

U_n = ar^n-1

Jumlah n suku pertama deret geometri bisa ditulis menjadi

Contoh soal 1

Agar 2, x-1, 18 membentuk barisan geometri maka nilai x sama dengan …

Jawab :

U₂² = U₁.U₃
(x — 1)² = 2.18
x² — 2x + 1 = 36
x² — 2x — 35 = 0
(x — 7)(x + 5) = 0
maka
x = 7 atau x = -5

Contoh soal 2 :

Dari barisa bilangan

1/729, 1/243, 1/81, 1/27, 1/9 …..

suku ke 14 sama dengan …..

Jawab :

a = 1/729

U₁₄ = ar¹³

Contoh soal 3 :

Pada barisan geometri diketahui U₉=2 dan U₁₄ = 64 maka U₁₇ = ….

Jawab :

r = 2
U₉ = 2
ar⁸ = 2
a.2⁸ = 2

U₁₇ = ar¹⁶ =2^-7.2¹⁶ = 2⁹ = 512

Contoh soal 4 :

Pada barisan geometri diketahui U₄₇U₅₀U₆₂ = 27
Nilai dari U₁U₂U₃U₄U₅……U₁₀₅ = ?

Jawab :

U₄₇U₅₀U₆₂ = 27
ar⁴⁶.ar⁴⁹.ar⁶¹=27
a³r¹⁵⁶=27
(ar⁵²)³=3³
ar⁵²=3

U₁U₂U₃U₄U₅……U₁₀₅
=a.ar.ar².ar³.ar⁴…..ar¹⁰⁴
=a¹⁰⁵r^{1+2+3+….+104}

Pangkat pada r bisa dihitung dengan deret aritmetika

1 + 2 + 3 + 4 + …+ 104

jadi, hasil di atas bisa kita ubah menjadi

a¹⁰⁵r^52.105
=(ar⁵²)¹⁰⁵
=3¹⁰⁵

Contoh soal 5 :

Tentukan jumlah dari

1 + 3 + 9 + ….+6561

Jawab :

a = 1 r = 3/1 = 3
U_n = 6561
ar^{n — 1} = 6561
1.3^{n — 1} = 6561
3^{n — 1} = 38
n — 1 = 8
n = 9

Contoh soal 6

Nilai x yang memenuhi persamaan
5 + 10 + 20 + ….+x = 5115

Jawab :
a = 5 r = 10/5 = 2
U_n = x = ?
S_n = 5115

5(2ⁿ — 1) = 5115
2ⁿ — 1 = 1023
2ⁿ = 1024
2ⁿ = 210
n = 10
x = Un = arn — 1
x = U₁₀ = ar⁹
x = 5.29 = 5(512) = 2560

Contoh soal 7

Tiga bilangan membentuk barisan geometri dengan jumlah 70. Jika suku ketiga dikurangi 10 maka terbentuk barisan aritmetika. Hasil kali ketiga bilangan semula sama dengan ….

Jawab :

Misalkan ketiga bilangan itu adalah a, ar, ar² maka
a + ar + ar² = 70 ……………………………(1)
a, ar, ar² — 10 membentuk barisan aritmetika
maka
U₂ — U₁ = U₃ — U₂
ar — a = ar² — 10 — ar
a — 2ar + ar² = 10 ………………………….(2)

Jika persamaan (1) dikurangi persmaan (2) diperoleh
3ar = 60
ar = 20

Hasil kali ketiga bilangan semula
a.ar.ar² = a³r³ = (ar)³ = 20³ = 8000

Contoh soal 8 :

Pada deret geometri diketahui S₁₀ = 27, S₂₀ = 36 maka S₃₀ = ….

Jawab :

27(r¹⁰ — 1) = 36
r¹⁰ — 1 = 4/3
r¹⁰ = 1/3 ……………………………(1)
r²⁰ = 1/9 ……………………………(2)

S₃₀ = 27(1/9 + 1/3 + 1)
S₃₀ = 3 + 9 + 27 = 39

Cara II

S₁₀ = U₁ + U₂ + U₃ + ….+ U₁₀ = 27
a + ar + ar² + …+ ar⁹ = 27 ………………(1)
S₂₀ = S₁₀ + U₁₁ + U₁₂ + U₁₃ + ….+ U₂₀ = 36
27 + ar¹⁰ + ar¹¹ + ar¹² + …+ ar¹⁹ = 36
ar¹⁰ + ar¹¹ + ar¹² + …+ ar¹⁹ = 9
r¹⁰(a + ar + ar² + …+ ar⁹)= 9
r¹⁰(27) = 9
r¹⁰= 1/3 ……………………………………(2)
r²⁰= 1/9 ……………………………………(2)
S₃₀ = S₂₀ + U₂₁ + U₂₂ + U₂₃ + ….+ U₂₀
S₃₀ = 36 + ar²⁰ + ar²¹ + ar²² + …+ ar²⁹
S₃₀ = 36 + r²⁰ (a + ar + ar² + …+ ar⁹)
S₃₀ = 36 + 1/9 (27) = 36 + 3 = 39