Super Matematika

Deret aritmetika dan Deret Geometri merupakan 2 deret yang sering dipelajari di SMA ataupun SMP

Pada deret aritmetika memiliki beda tetap, sedangkan pada deret geometri memiliki rasio tetap

Pada deret aritmetika berlaku

U₂ — U₁ = U₃ — U₂ = U₄ — U₃ = U_n — U_{n — 1} = b

U_n = a + (n — 1) b

 

Sementara pada deret geometri berlaku

U_n = ar^{n — 1}

atau

 

Contoh Soal 1

Diketahui 3 bilangan membentuk deret aritmetika dengan beda 2. Jika bilangan ketiga ditambah dengan 1 maka terbentuk deret geometri. Suku ketiga deret geometri adalah ….

Jawab :

Deret aritmetika bisa dimisalkan

a, a + b, a + 2b

Karena bedanya 2 maka bisa ditulis menjadi

a , a + 2, a + 4

Suku ketiga ditambah 1, sehingga menjadi deret geometri, yaitu

a, a + 2, a + 5

Pada deret geometri berlaku

U₁.U₃ = U₂²

a(a + 5) = (a + 2)²

a² + 5a = a² + 4a + 4

a = 4

Suku ketiga deret geometri adalah

a + 5 = 4 + 5 = 9

 

Contoh Soal 2 :

Diketahui Un adalah suku ke n pada barisan aritmetika. Jika diketahui U₁, U₃, U₁₃, dan U_x membentuk barisan geometri maka nilai x sama dengan ….

Jawab :

U_n = a + (n — 1) b

U₁ = a

U₃ = a + 2b

U₁₃ = a + 12b

U_x = a + (x — 1) b

Maka

(a + 2b)² = a(a + 12b)

a² + 4ab + 4b² = a² + 12ab

4b² = 8ab

Jika kedua ruas dibagi dengan 4b maka

b = 2a

 

2ax — a = 125a

2ax = 126a

x = 63

 

Contoh Soal 3 :

Diketahui jumlah n suku pertama suatu deret dinyatakan dengan S_n = n² + 3n + 5. Deret tersebut merupakan

(A) Deret aritmetika dengan beda 1

(B) Deret aritmetika dengan beda 2

(C) Deret geometri dengan rasio 2

(D) Deret geometri dengan rasio 3

(E) Bukan deret aritmetika maupun deret geometri

 

Jawab :

S_n = n² + 3n + 5

S₁ = 1² + 3.1 + 5 = 1 + 3 + 5 = 9

S₂ = 2² + 3.2 + 5 = 4 + 6 + 5 = 15

S₃ = 3² + 3.3 + 5 = 9 + 9 + 5 = 23

 

U₁ = S₁ = 9

U₂ = S₂ — S₁ = 15 — 9 = 6

U₃ = S₃ — S₂ = 23 — 15 = 8

 

U₂ — U₁ = 6 — 9 = — 3

U₃ — U₂ = 8 — 6 = 2

 

Karena U₂ — U₁ ≠ U₃ — U₂ maka deret tersebut bukan deret aritmetika

Karena

maka deret tersebut bukan deret geometri

Jadi, jawabannya adalah E

 

 

Contoh Soal 4 :

Diketahui jumlah n suku pertama suatu deret dinyatakan dengan S_n = 5.3ⁿ — 4. Deret tersebut merupakan

(A) Deret aritmetika dengan beda 3

(B) Deret aritmetika dengan beda 4

(C) Deret geometri dengan rasio 3

(D) Deret geometri dengan rasio 4

(E) Bukan deret aritmetika maupun deret geometri

Jawab :

S_n = 5.3ⁿ — 4

S₁ = 5.3¹ — 4 = 15 — 4 = 11

S₂ = 5.3² — 4 = 45 – 4 = 41

S₃ = 5.3³ — 4 = 135 – 4 = 131

 

U₁ = S₁ = 11

U₂ = S₂ — S₁ = 41 — 11 = 30

U₃ = S₃ — S₂ = 131 – 41 = 90

 

U₂ — U₁ = 30 – 11 = 19

U₃ — U₂ = 90 – 30 = 60

Karena U₂ — U₁ ≠ U₃ — U₂ maka deret tersebut bukan deret aritmetika

Karena

maka deret tersebut bukan deret geometri

Jadi, jawabannya adalah E